Questão 165 caderno azul ENEM 2013

Um artesão de jóias tem à sua disposição pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes.

Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes.

A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas pelas pedras.

Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter?

A) 6

B) 12

C) 18

D) 24

E) 36

🧠 Tema Geral: Análise Combinatória – Princípio Multiplicativo com Restrições e Simetria

📚 Matérias Necessárias:

• Análise Combinatória
• Princípio Multiplicativo
• Restrição por Simetria (Rotação)

📈 Nível da Questão:

Médio, pois exige não só a aplicação do princípio multiplicativo com restrições (cores diferentes em vértices consecutivos), mas também a consideração de simetria por rotação, o que pode confundir alunos desatentos.

✔️ GABARITO: Alternativa B

✅ PASSO 1 — Análise do Comando e Objetivo

📌 Comando Essencial:
“…quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter?”

📌 O que está sendo pedido?
Contar o número de joias diferentes que o artesão pode formar com 3 cores distintas e com a regra de que dois vértices consecutivos nunca podem ter a mesma cor.

📌 Objetivo Cristalino:
Determinar o número de combinações possíveis de cores nos vértices de um losango, respeitando a regra de que cores consecutivas sejam diferentes e eliminando repetições por simetria rotacional.

📌 Dica:
O segredo está em:

1. Escolher cores válidas para os vértices com base nas restrições,
2. Usar o princípio multiplicativo com cuidado,
3. Eliminar joias repetidas que surgem por rotação.

💬 Possíveis Armadilhas:
“Se eu pintar os vértices de formas diferentes, sempre vai dar joia diferente?”
❌ Nem sempre. Duas joias podem ser rotacionadas e parecer diferentes, mas na prática são a mesma joia.

✔ Pergunta de Atenção:
Você já percebeu que duas joias podem parecer diferentes, mas são a mesma se forem rotacionadas?

✅ PASSO 2 — Explicação de Conceitos e conteúdos Necessários

🎯 1. Princípio Multiplicativo (ou da Contagem):

Quando fazemos escolhas consecutivas e independentes, multiplicamos as quantidades de opções.
Exemplo: 3 opções de cor para o primeiro vértice e 2 para o segundo = 3 × 2 = 6.

🎯 2. Restrições:

Na questão:

• São 4 vértices (A, B, C, D) de um losango.
• A regra é que dois vértices consecutivos não tenham a mesma cor.
  Ou seja: A ≠ D, D ≠ C, C ≠ B, B ≠ A.

🎯 3. Simetria Rotacional:

Como o molde é simétrico (forma de losango), rotacionar a figura pode gerar joias visualmente idênticas.
Se a única diferença entre duas joias for a rotação (ex: começando pela cor azul em A ou em B), elas são consideradas a mesma joia.

✅ PASSO 3 — Tradução e Interpretação do Texto

O artesão:

• Usa 3 cores: vermelho, azul e verde.
• Coloca essas cores nos vértices A, B, C e D do losango.
• Exige que vértices consecutivos (ex: A–D, D–C, C–B, B–A) tenham cores diferentes.

A figura mostra os vértices como se fossem numerados no sentido horário:

        A
      /   
    D       B
         /
        C

Nosso desafio é contar todas as configurações válidas de colorir esses 4 pontos com as 3 cores, obedecendo:

1. Vértices consecutivos com cores diferentes;
2. Repetições por rotação devem ser eliminadas.

✅ PASSO 4 — Desenvolvimento de Raciocínio

Vamos separar em 3 casos possíveis, de acordo com as combinações entre os vértices.

✅ CASO 1: Vértices opostos com mesma cor (A = C e B = D)

• Passo 1:

  Escolher cor para A e C → 3 opções

• Passo 2:

  Como A ≠ D e C ≠ B, então B e D (iguais entre si) ≠ A → 2 opções

→ Total para esse caso:
3 (para A = C) × 2 (para B = D) = 6 joias

✅ CASO 2: Quatro cores diferentes consecutivamente (A ≠ D ≠ C ≠ B ≠ A)

→ Aqui usaremos todas as três cores, sem repetir nenhuma entre consecutivos.

• Escolhemos 3 cores e posicionamos nos 4 vértices, mas com uma cor repetida em A e C ou em outro par oposto.

Exemplo:

• A = verde
• D = vermelho
• C = azul
• B = vermelho (repetindo cor de D)

Vamos considerar apenas combinações que não gerem repetições por rotação.

→ Há 6 maneiras diferentes de posicionar as 3 cores (3 × 2 × 1),
→ Mas as rotações fazem com que essas 6 se repitam de 2 em 2.
→ Assim, temos:

(3 × 2 × 1) ÷ 2 = 3 joias distintas

✅ CASO 3: A = C e B ≠ D (ou vice-versa)

• A e C têm a mesma cor → 3 opções
• B: diferente de A → 2 opções
• D: diferente de A e de B → 1 opção

→ Total: 3 × 2 × 1 = 6,
→ Mas de novo, há repetição por rotação, então dividimos por 2:

→ Total do caso: 6 ÷ 2 = 3 joias

🔢 SOMANDO TODOS OS CASOS:

• 6 (caso 1) + 3 (caso 2) + 3 (caso 3)=12

✅ PASSO 5 — Análise das Alternativas

Letra A) 6
❌ Muito abaixo. Só contaria um dos casos.

Letra B) 12
✅ CORRETA. Soma os 3 casos possíveis, respeitando as restrições e simetrias.

Letra C) 18
❌ Seria o total se não considerássemos a simetria por rotação.

Letra D) 24
❌ Possivelmente confunde com 3 × 2 × 2 × 2 (sem aplicar restrições corretamente).

Letra E) 36
❌ Exageradamente alta. Representaria todas as combinações de 3 cores em 4 vértices (3⁴), mas sem aplicar a regra dos consecutivos diferentes.

✅ PASSO 6 — Conclusão e Justificativa Final

Ao combinar as cores com a exigência de que vértices consecutivos tenham cores diferentes, e eliminando joias repetidas por rotação, o total de combinações possíveis e distintas é 12.

Portanto, o número de joias diferentes que o artesão poderá produzir é:

✅ Gabarito confirmado: Letra B