Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão M(t) = A · (2,7)kt, onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa.
Considere 0,3 como aproximação para log10 2.
Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?
A) 27
B) 36
C) 50
D) 54
E) 100
🧠 Tema Geral: Funções Exponenciais – Decaimento Radioativo
📚 Matérias Necessárias:
- Função Exponencial
- Propriedades de Logaritmos
- Modelos Matemáticos de Decaimento
- Mudança de Base de Logaritmos
📈 Nível da Questão:
Difícil, pois envolve a aplicação de um modelo de decaimento exponencial com logaritmos e exige interpretação da equação exponencial com uma constante desconhecida.
✔️ GABARITO: Alternativa E
✅ PASSO 1 — Análise do Comando e Objetivo
📌 Comando Essencial:
“Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?”
📌 O que está sendo pedido?
Calcular quantos anos são necessários para que apenas 10% da massa original do césio-137 ainda permaneça.
📌 Objetivo Cristalino:
Aplicar a equação exponencial M(t)=A⋅(2,7)^kt com a informação de meia-vida e de 10% da massa restante para determinar o tempo.
📌 Dica:
Como a meia-vida é 30 anos, podemos usá-la para encontrar o valor da constante k antes de resolver a equação.
💬 Possíveis Armadilhas:
Muitos alunos pensam que 10% da massa significa subtrair 90% da fórmula inicial — mas o correto é manter a equação como proporção:
- M(t)=0,1⋅A
✔ Pergunta de Atenção:
Você sabe como transformar uma equação exponencial em uma equação logarítmica para isolar o tempo?
✅ PASSO 2 — Explicação de Conceitos e conteúdos Necessários
📌 Decaimento Exponencial
A massa de um material radioativo que decai com o tempo é representada pela função:
- M(t)=A⋅b^t
Onde:
- M(t): massa restante no tempo ttt,
- A: massa inicial,
- b: base da exponencial (menor que 1),
- t: tempo em anos.
📌 Meia-vida
A meia-vida é o tempo necessário para a massa cair à metade do valor inicial:
- M(t)=A/2 ⇒ M(30) = A/2
A partir disso, podemos descobrir a constante k na equação dada:
- M(t)= A⋅(2,7)^kt
📌 Propriedade de Logaritmos
Quando temos uma equação na forma:
- a=b^x
Podemos aplicar logaritmo dos dois lados:
- log a= x ⋅ log b ⇒ x = log a/log b
📌 Dado Importante:
- Aproximação: log2≈0,3
✅ PASSO 3 — Tradução e Interpretação do Texto
Queremos saber quando a massa será apenas 10% da original, ou seja:
- M(t)=0,1⋅A
Sabemos que:
- A fórmula é M(t)=A⋅(2,7)^kt
- Meia-vida = 30 anos ⇒ M(30) =A/2
Nosso plano será:
- Usar a meia-vida para encontrar k;
- Substituir o valor de k na equação com M(t)=0,1A
- Resolver para t.
✅ PASSO 4 — Desenvolvimento de Raciocínio
Sabemos que:
- A2=A⋅(2,7)^30k
Dividindo os dois lados por A:
- 1/2=(2,7)^30k
Aplicando logaritmo dos dois lados:
- log12=30k⋅log(2,7)
Sabemos que:
- log 1/2=−log2≈−0,3
Logo: −0,3=30k⋅log(2,7)
Agora precisamos estimar log(2,7). Sabemos que:
- log(10)=1, log(2)=0,3, log(3)≈0,48 ⇒ log(2,7) ≈ 0,43
Substituindo:
- −0,3=30 k ⋅ 0,43⇒k=−0,3/30⋅0,43=−0,3/12,9 ≈ −0,02326
✅ Etapa 2 – Calcular o tempo t para M(t)=0,1A
Começamos com:
- 0,1A=A⋅(2,7)^kt ⇒ 0,1=(2,7)^kt
Aplicando log dos dois lados:
- log(0,1)= kt ⋅ log(2,7) ⇒ −1= kt⋅0,43 ⇒ t=−1/k⋅0,43
Substituindo k≈−0,02326
- t=−1/ – 0,02326 ⋅ 0,43 ≈ 1/0,01 =100
✅ PASSO 5 — Análise das Alternativas
A) 27
❌ Muito pouco tempo. Ainda teríamos mais que 50% da massa.
B) 36
❌ Aproximadamente 60% da massa, ainda longe dos 10%.
C) 50
❌ A massa seria cerca de 25%.
D) 54
❌ A massa seria um pouco abaixo de 25%, ainda longe dos 10%.
E) 100
✅ CORRETA. Após 100 anos, restam aproximadamente 10% da massa original.
✅ PASSO 6 — Conclusão e Justificativa Final
Para que a massa de césio-137 se reduza a 10% da quantidade original, é necessário que se passem 100 anos. Essa conclusão foi obtida usando a equação do decaimento exponencial, relacionando a meia-vida e aplicando logaritmos para isolar o tempo.
✅ Gabarito confirmado: Letra E
