Uma costureira tem à sua disposição pelo menos duas unidades de cada um dos quatro tipos de retalhos retangulares com as estampas e os tamanhos apresentados.
Para confeccionar um tapete em formato retangular de 10 cm x 50 cm, ela utilizará os retalhos, na posição indicada na figura, costurando um lado de um a um lado do outro, sem que haja rotações desses retalhos. O modelo de tapete que pretende confeccionar deverá conter um único retalho de 10 cm x 20 cm e mais três retalhos de formato 10 cm x 10 cm, sendo que retalhos de mesma estampa não poderão ficar lado a lado.
Quantos modelos diferentes de tapetes poderão ser confeccionados?
a) 12
b) 24
c) 34
d) 48
e) 60
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Análise Combinatória, Princípio Fundamental da Contagem e Raciocínio Lógico).
Tema/Objetivo Geral:
Cálculo do número de arranjos possíveis para a montagem de um tapete, respeitando restrições de posicionamento fixo e não adjacência de elementos iguais.
Nível da Questão: Médio.
- A questão exige que o candidato visualize a partição geométrica do tapete e aplique o Princípio Multiplicativo.
- O maior desafio está na análise de casos. O número de opções para os retalhos menores muda dependendo de onde o retalho maior (10 cm x 20 cm) é colocado, exigindo uma organização rigorosa para não contar de menos nem repetir possibilidades.
Gabarito: Alternativa E.
- Ao fixarmos o retalho maior nas quatro posições possíveis, calculamos as combinações para os três retalhos menores. Nas posições de extremidade, temos 12 modelos cada; nas posições centrais, temos 18 modelos cada. A soma total resulta em 60 modelos diferentes.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é descobrir quantas variações de tapetes a costureira pode criar, sabendo que ela tem um “peção” (10×20) e três “pecinhas” (10×10) para preencher um espaço total de 10×50, com a regra de que estampas iguais nunca se encostem.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine que você tem um estacionamento com 5 vagas em linha reta. Você tem um ônibus que ocupa 2 vagas e 3 carros coloridos que ocupam 1 vaga cada. O verdadeiro desafio aqui é: onde o ônibus pode estacionar e, depois disso, de quantas formas os carros podem ser organizados sem que dois carros da mesma cor fiquem colados um no outro?
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Mapear o Espaço: Dividir o tapete de 50 cm em 5 blocos de 10 cm.
- Posicionar o Bloco Grande: Identificar todos os lugares onde o retalho de 20 cm pode “sentar”.
- Calcular as Vagas Restantes: Para cada lugar do bloco grande, contar as opções para os blocos pequenos usando o Princípio Multiplicativo.
- Somar os Cenários: Totalizar todas as combinações encontradas.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para esta investigação, utilizaremos um Dossiê de Montagem Estratégica para organizar as regras de contagem e as restrições de vizinhança.
DOSSIÊ TÉCNICO: OPERAÇÃO TAPETE
- A Estrutura (Grid): O tapete de 10×50 é composto por 5 quadrados de 10×10. Vamos chamá-los de Vaga 1, 2, 3, 4 e 5.
- O Elemento Especial (O Retalho de 20 cm): Ele é único e ocupa duas vagas consecutivas. Ele não tem estampa mencionada como repetível, então ele funciona como um “isolante” entre os outros.
- Os Elementos Comuns (Os 3 Retalhos de 10 cm): Existem 3 tipos de estampas disponíveis. A costureira tem estoque de sobra, então podemos repetir estampas no tapete, desde que não fiquem lado a lado.
- A Regra da Adjacência: Se eu colocar a Estampa A em uma vaga, a vaga vizinha não pode ser a Estampa A. Ela terá apenas 2 opções (B ou C).
- O Princípio Multiplicativo: O total de chances é o produto das opções de cada vaga: Vaga1 x Vaga2 x Vaga3…
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar o plano analisando onde o retalho de 20 cm (que chamaremos de G) pode ser colocado.
Cenário 1: O retalho G nas extremidades (Vagas 1-2 ou Vagas 4-5)
- Se G ocupa as vagas 1 e 2, sobram as vagas 3, 4 e 5.
- Vaga 3: Pode ser qualquer uma das 3 estampas.
- Vaga 4: Deve ser diferente da Vaga 3 (2 opções).
- Vaga 5: Deve ser diferente da Vaga 4 (2 opções).
- Cálculo: 3 x 2 x 2 = 12 modelos.
- Como as vagas 4-5 são o espelho das 1-2, temos mais 12 modelos.
- Subtotal: 12 + 12 = 24.
Cenário 2: O retalho G nas posições internas (Vagas 2-3 ou Vagas 3-4)
- Se G ocupa as vagas 2 e 3, sobram as vagas 1, 4 e 5.
- Vaga 1: Pode ser qualquer uma das 3 estampas. (Ela não encosta em ninguém além de G).
- Vaga 4: Pode ser qualquer uma das 3 estampas. (Ela encosta em G, mas G não é uma das 3 estampas coloridas, então a Vaga 4 está “livre” para começar uma nova sequência).
- Vaga 5: Deve ser diferente da Vaga 4 (2 opções).
- Cálculo: 3 x 3 x 2 = 18 modelos.
- Como as vagas 3-4 são o espelho das 2-3, temos mais 18 modelos.
- Subtotal: 18 + 18 = 36.
Total Geral: 24 (extremidades) + 36 (meio) = 60 modelos.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum aqui é o aluno achar que, porque só existem 3 tipos de retalhos pequenos, a costureira é obrigada a usar um de cada. O texto diz que ela tem “pelo menos duas unidades de cada”, o que significa que ela pode repetir estampas no mesmo tapete (ex: Coração – Grande – Coração). Se você tratar como uma permutação simples de 3 elementos (3x2x1), você vai errar a contagem drasticamente. O segredo é focar no que “não pode” (o vizinho igual), e não no que “tem que usar”.
Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: O retalho grande atua como um divisor. Quando ele separa os pequenos, ele “reseta” a restrição de cor. Quando os pequenos estão todos juntos, a restrição se propaga.
- Expectativa: O valor final deve ser a soma de 12+12+18+18, resultando em 60.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 12
- A Narrativa do Erro: O aluno calcula apenas um dos casos de extremidade e acha que as outras posições do retalho grande são proibidas ou idênticas.
- Diagnóstico do Erro: Reducionismo (Descreveu apenas uma parte do problema).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 24
- A Narrativa do Erro: O aluno considera apenas o retalho grande nas pontas (12 + 12) e esquece que ele pode ser colocado no meio do tapete.
- Diagnóstico do Erro: Omissão de Etapa (Esqueceu casos possíveis).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 34
- A Narrativa do Erro: Geralmente decorre de um erro de soma ou de uma tentativa de usar combinações simples sem respeitar o Princípio Multiplicativo.
- Diagnóstico do Erro: Erro de Cálculo Aritmético.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 48
- A Narrativa do Erro: O aluno pode ter achado que todos os 4 posicionamentos do retalho grande resultavam em 12 combinações (4 x 12 = 48), não percebendo que a posição central dá mais liberdade de escolha.
- Diagnóstico do Erro: Generalização Excessiva (Tratou casos diferentes como iguais).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 60
- Análise de Correspondência: Este valor é a conclusão exata da nossa perícia técnica. Ele contabiliza as 4 posições do retalho maior e aplica corretamente a restrição de vizinhança para os retalhos menores em cada situação.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A investigação termina com a vitória da Alternativa E. Aprendemos que, na análise combinatória, a geometria do problema dita o ritmo da multiplicação.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Retalho grande nas pontas = 2 x 12; Retalho grande no meio = 2 x 18. Somou tudo, deu 60.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este conceito de “não adjacência” é fundamental no Design de Interface (UI/UX) e na Arquitetura. Imagine que você está projetando uma página de site com blocos de cores. Se você colocar cores muito parecidas lado a lado, a leitura fica cansativa (o “conflito” visual). Algoritmos de computação usam exatamente esse raciocínio para gerar mapas de videogame ou padrões de tecelagem industrial de forma automática, garantindo que o resultado final seja sempre harmonioso e sem repetições indesejadas. A matemática da costureira é a mesma que organiza os pixels da sua tela!
