Na modelagem e no estudo de fenômenos periódicos, em geral, os modelos associados fazem uso de funções trigonométricas. Nesse sentido, considere um experimento, realizado em laboratório, em que uma planta foi colocada em uma estufa, onde a temperatura é controlável. O experimento consiste em observar alterações nas características dessa planta ao ser submetida a variações de temperatura. Durante 24 horas, a temperatura T(x) da estufa variou de acordo com a função
,em que x é medido em hora, variando no intervalo 0 ≤ x ≤ 24.
Durante esse experimento, quantas vezes a temperatura na estufa atingiu o seu valor mínimo?
A) 1
B) 3
C) 4
D) 5
E) 7
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução
- Funções Trigonométricas
- Comportamento da Função Seno
- Período e Repetição de Funções Cíclicas
🔢 Nível da Questão
🔹Médio-Difícil 🚀 (exige compreensão de comportamento periódico de funções trigonométricas e interpretação correta da equação)
✅ Gabarito
- Alternativa B – 3 vezes
📝 Resolução Passo a Passo
🔍 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 O enunciado nos informa que:
A temperatura da estufa é modelada pela função:
- T(x)=20−10 \sen(π/4.x)
- O intervalo de tempo analisado é 0 ≤ x ≤ 24 horas.
- O objetivo é descobrir quantas vezes a temperatura atinge seu valor mínimo nesse intervalo.
🎯 O que precisamos fazer?
- Encontrar quando a temperatura atinge seu valor mínimo.
- Para isso, devemos analisar quando a função seno atinge seu maior valor, pois há um fator negativo multiplicando o seno na equação da temperatura.
📖 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
📌 Como funciona a função trigonométrica?
A equação dada segue o padrão:
- T(x)=A+B⋅\sen(Cx)
A: Representa a temperatura média (20°C).
B: Representa a amplitude da variação da temperatura (-10°C indica que o gráfico está invertido).
C: Indica a frequência da oscilação (aqui, π/4).
🔍 Quando a temperatura será mínima?
A função seno varia entre -1 e 1, ou seja:
- −1≤\sen(algo)≤1
Agora, veja o efeito disso na equação da temperatura:
- Quando o seno for 1, a temperatura será menor: T(x)=20−10(1)=10°C
- Quando o seno for -1, a temperatura será maior: T(x)=20−10(−1)=30°C
Portanto, a temperatura será mínima quando o seno for 1.
📌 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
Queremos descobrir quando o seno atinge o valor 1:
- \sen(π/4.x) = 1
Sabemos que:
- \sen(π/2 + 2πn) = 1
Para qualquer número inteiro n, essa equação fornece os pontos onde o seno atinge 1.
Agora, basta resolver para x dentro do intervalo 0 ≤ x ≤ 24.
🔢 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Resolvendo a equação:
- π/4.x= π/2+2πn
Dividindo ambos os lados por π:
- π/4 = 1/2 + 2n
Multiplicamos por 4:
- x=2+8n
Agora, verificamos quais valores de x estão no intervalo de 0 a 24:
- Para n=0
- x=2
- Para n=1
- x=2+8(1)=10
- Para n=2
- x=2+8(2)=18
- Para n=3
- x=2+8(3)=26(fora do intervalo)
Portanto, os valores válidos são x = 2, 10 e 18.
Ou seja, a temperatura atinge o mínimo 3 vezes! 🎯
💡 Resposta final: Alternativa B – 3 vezes.
📝 Passo 5: Análise das Alternativas
🔍 Vamos analisar cada opção:
- ✅ Alternativa B – 3 vezes.
- Correta! Encontramos três valores dentro do intervalo.
- ❌ Alternativa A – 1 vez.
- Errado! O valor 2 não é o único.
- ❌ Alternativa C – 4 vezes.
- Errado! O próximo valor (26) já está fora do intervalo.
- ❌ Alternativa D – 5 vezes.
- Errado! O seno só atinge 1 três vezes dentro do intervalo.
- ❌ Alternativa E – 7 vezes.
- Errado! Não há sete momentos dentro de 24 horas onde o seno atinge 1.
💡 Resposta Final: Alternativa B!
🎯Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 A temperatura da estufa segue um comportamento periódico, baseado na função seno.
📌 A temperatura é mínima quando o seno atinge seu maior valor (1).
📌 Resolvemos a equação \sen(πx/4)=1 e encontramos três momentos no intervalo [0,24].
📌 Portanto, a resposta correta é que a temperatura atinge o mínimo 3 vezes.
