O crescimento de uma população de microrganismos é descrito pela expressão K(t) = 81.3t/3 + 2, em que K(t) indica a quantidade de microrganismos em um meio de cultura em função do tempo t. O gráfico representa a evolução de K em relação ao tempo t.
Com base nos dados, o valor de m é:
A) 4/3
B) 7/5
C) 24/5
D) 12
E) 81
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução
- Função exponencial com expoente fracionário
- Resolução de equações com potências de mesma base
🔢 Nível da Questão
🔹Médio — exige manipulação algébrica e leitura correta do gráfico.
✅ Gabarito
- Alternativa D
📝 Resolução Passo a Passo
🔍 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
O comando pede:
“Com base nos dados, o valor de m é:”
O gráfico mostra o crescimento de microrganismos no tempo, seguindo a função:
K(t) = 81 · 3^(t/3) + 2
Queremos descobrir o valor de m (tempo) que faz com que K(t) = 6563.
Nosso objetivo é:
✔️ Substituir o valor de K na equação,
✔️ Resolver a equação exponencial,
✔️ Encontrar o valor de m correspondente.
📖 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
A equação dada é:
K(t) = 81 · 3^(t/3) + 2
- É uma função exponencial com base 3 e com t/3 como expoente.
- O número 81 multiplica a potência (a curva cresce mais rápido).
- O número +2 no final desloca a função verticalmente.
Vamos usar a propriedade:
Se a^x = a^y, então x = y, desde que a > 0 e a ≠ 1.
Também vamos precisar fatorar 81 como potência de 3.
📌 Passo 3: Interpretação e Tradução do Texto
O gráfico mostra que:
K(m) = 6563
Sabemos também pela função que:
K(t) = 81 · 3^(t/3) + 2
Substituindo t = m e K = 6563 na função, montamos a equação para resolver:
6563 = 81 · 3^(m/3) + 2
✍️ Passo 4: Desenvolvimento de Raciocínio
Começamos isolando o termo com potência:
6563 = 81 · 3^(m/3) + 2
6563 – 2 = 81 · 3^(m/3)
6561 = 81 · 3^(m/3)
Agora, isolamos o termo exponencial dividindo ambos os lados por 81:
6561 ÷ 81 = 3^(m/3)
81 = 3^(m/3)
Agora usamos potências de mesma base:
81 = 3^4
Logo:
3^4 = 3^(m/3)
Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes:
m/3 = 4 m = 4 × 3 m = 12 P = 325
📌 Passo 5: Análise das Alternativas
Vamos analisar todas:
E) 81
→ É o número que multiplica a potência, não tem relação direta com o tempo.
A) 4/3
→ Muito pequeno. K seria bem menor que 6563.
B) 7/5
→ Aproximadamente 1,4. Também pequeno.
C) 24/5
→ Isso é 4,8. Ainda muito abaixo do necessário para chegar a 6563.
✅ D) 12
→ Já vimos: substituindo na equação, a igualdade é satisfeita.
✔️ Alternativa correta.
🎯Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
A função modela o crescimento de microrganismos ao longo do tempo, e o gráfico indica que em um certo tempo mmm, a quantidade era 6563. Substituímos esse valor na função e resolvemos a equação exponencial, encontrando m = 12 como o tempo necessário.
✅ Alternativa correta: D
