Em um ano, uma prefeitura apresentou o relatório de gastos públicos realizados pelo município. O documento mostra que foram gastos 72 mil reais no mês de janeiro (mês 1), que o maior gasto mensal ocorreu no mês de agosto (mês 8) e que a prefeitura gastou 105 mil reais no mês de dezembro (mês 12). A curva que modela esses gastos é a parábola y = T(x), com x sendo o número correspondente ao mês e T(x), em milhar de real.
A expressão da função cujo gráfico é o da parábola descrita é
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Função Quadrática (Função do 2º Grau)
- Vértice da Parábola
- Sistema de Equações Lineares
Tema/Objetivo Geral: Determinação da lei de formação de uma função quadrática a partir de três informações-chave: dois pontos da curva e a coordenada x do vértice.
Nível da Questão: Difícil.
- Detalhe do nível: A questão é considerada difícil porque exige que o aluno não apenas conheça as fórmulas, mas também saiba interpretar um texto e traduzir suas informações em um sistema de equações. A resolução envolve múltiplas etapas, incluindo a manipulação de três variáveis (a, b e c), o que requer um raciocínio algébrico bem estruturado.
Gabarito: Alternativa A.
- A alternativa está correta porque a função T(x) = -x² + 16x + 57 é a única que satisfaz simultaneamente as três condições do problema: T(1) = 72, T(12) = 105, e o ponto de máximo (vértice) ocorre em x = 8.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“A expressão da função cujo gráfico é o da parábola descrita é”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício nos pede para encontrar a fórmula matemática exata, no formato T(x) = ax² + bx + c, que representa a curva dos gastos da prefeitura ao longo do ano.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo final é descobrir os valores numéricos dos coeficientes a, b e c que montam a função quadrática correta.
1.4 Pergunta de Atenção
Você se lembra o que a informação sobre o “maior gasto mensal” significa para o gráfico de uma parábola? Essa é a pista mais importante de todo o problema!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver essa questão, precisamos ter na ponta da língua alguns conceitos sobre funções quadráticas:
- Função Quadrática: É toda função na forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números constantes e a não pode ser zero. O gráfico dessa função é sempre uma parábola.
- Vértice da Parábola: É o ponto mais alto ou mais baixo da curva.
- Se a > 0, a parábola tem “boca” para cima e o vértice é o ponto de mínimo.
- Se a < 0, a parábola tem “boca” para baixo e o vértice é o ponto de máximo. No nosso problema, fala-se em “maior gasto”, então já sabemos que a será negativo!
- Fórmula do X do Vértice (Xv): Esta fórmula nos dá a coordenada x onde o ponto de máximo ou mínimo ocorre.
Xv = -b / (2a)
- Sistema de Equações: É um conjunto de equações com múltiplas variáveis que resolvemos simultaneamente para encontrar o valor de cada uma delas.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos “mastigar” as informações. Temos um gráfico em forma de parábola que descreve os gastos de uma cidade. O enunciado nos dá três pistas valiosas sobre esse gráfico:
- Pista 1 (Janeiro): No mês 1 (x=1), o gasto foi de 72 mil (T(1)=72). Isso nos dá o ponto (1, 72).
- Pista 2 (Dezembro): No mês 12 (x=12), o gasto foi de 105 mil (T(12)=105). Isso nos dá o ponto (12, 105).
- Pista 3 (Agosto): O maior gasto ocorreu no mês 8 (x=8). Isso significa que o topo da parábola (o vértice) está em x=8.
Nossa missão é usar essas três pistas para desvendar a fórmula T(x) = ax² + bx + c.
3.2 Estratégia Geral
O plano de ataque será:
- Usar a Pista 3 (vértice) e a fórmula Xv = -b / (2a) para criar uma relação entre b e a.
- Usar as Pistas 1 e 2 para criar duas equações com a, b e c.
- Substituir a relação do passo 1 nas equações do passo 2, criando um sistema mais simples com apenas a e c.
- Resolver esse sistema para encontrar os valores de a e c, e depois usar a para achar b.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos executar nossa estratégia.
1. Usando a Pista do Vértice:
Sabemos que o X do Vértice (Xv) é 8.
Xv = -b / (2a)
8 = -b / (2a)
Multiplicando em cruz:
16a = -b
b = -16a
Guardamos essa informação crucial. Ela nos permite substituir b em todas as outras equações.
2. Montando o Sistema com os Pontos:
- Para o ponto (1, 72):
T(1) = a*(1)² + b*(1) + c = 72
a + b + c = 72 (Equação I) - Para o ponto (12, 105):
T(12) = a*(12)² + b*(12) + c = 105
144a + 12b + c = 105 (Equação II)
3. Resolvendo o Sistema:
Agora, vamos substituir b = -16a nas Equações I e II.
- Na Equação I:
a + (-16a) + c = 72
-15a + c = 72 (Nossa nova Equação I’) - Na Equação II:
144a + 12*(-16a) + c = 105
144a – 192a + c = 105
-48a + c = 105 (Nossa nova Equação II’)
Agora temos um sistema mais simples com duas equações e duas incógnitas (a e c):
{ -15a + c = 72
{ -48a + c = 105
Vamos isolar c na primeira equação: c = 72 + 15a.
Agora substituímos isso na segunda equação:
-48a + (72 + 15a) = 105
-33a + 72 = 105
-33a = 105 – 72
-33a = 33
a = -1
Agora que temos a, encontramos c:
c = 72 + 15*(-1)
c = 72 – 15
c = 57
E finalmente, encontramos b:
b = -16a
b = -16*(-1)
b = 16
4.2 Verificação Intermediária
Encontramos os três coeficientes: a = -1, b = 16, c = 57. A função é T(x) = -x² + 16x + 57. Como a é negativo, a parábola tem um ponto de máximo, o que faz sentido.
4.3 Possível armadilha
A maior armadilha aqui é a complexidade algébrica. É muito fácil errar um sinal ou um cálculo durante a substituição e a resolução do sistema. Outra armadilha seria não saber o que fazer com a informação do “maior gasto”. Sem usar a fórmula do vértice, o problema se torna muito mais difícil de resolver.
4.4 fechamento e expectativa
Com a=-1, b=16 e c=57, montamos a função final: T(x) = -x² + 16x + 57. Agora, esperamos encontrar exatamente essa expressão em uma das alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
a) T(x) = -x² + 16x + 57
b) T(x) = -11/16 x² + 11x + 72
c) T(x) = 3/5 x² – 24/5 x + 381/5
d) T(x) = -x² – 16x + 87
e) T(x) = 11/16 x² – 11/2 x + 72
5.2 Justificativa Individual
- a) 🟢 Correta. Esta é exatamente a função que encontramos após resolver o sistema de equações.
- b) 🔴 Incorreta. Se testarmos o ponto T(1), teríamos T(1) = -11/16 + 11 + 72, que não é 72.
- c) 🔴 Incorreta. O coeficiente a é positivo (3/5), o que implicaria um ponto de mínimo, contradizendo o “maior gasto”.
- d) 🔴 Incorreta. Possui os coeficientes a e b com sinais trocados em relação ao nosso resultado, o que levaria a um vértice e a valores diferentes.
- e) 🔴 Incorreta. Assim como a C, tem o coeficiente a positivo, o que está errado.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi obtida ao traduzir as três informações do enunciado (dois pontos e a posição do vértice) em um sistema de equações. Utilizando a fórmula do X do vértice, simplificamos o sistema e o resolvemos para encontrar os coeficientes a, b e c, definindo assim a lei de formação da função.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a A), T(x) = -x² + 16x + 57.
6.3 Resumo Final para Revisão
🔍 Em problemas com parábolas, a informação de “valor máximo” ou “valor mínimo” é uma dica de ouro! Use imediatamente a fórmula do vértice Xv = -b / (2a) para simplificar seus cálculos.
