Um marceneiro visitou 5 madeireiras para comprar tábuas que lhe permitissem construir 5 prateleiras de formato retangular, de dimensões iguais a 30 cm de largura por 120 cm de comprimento cada, tendo como objetivo minimizar a sobra de madeira, podendo, para isso, fazer qualquer tipo de emenda. As dimensões das tábuas encontradas nas madeireiras estão descritas no quadro.
Em qual madeireira o marceneiro deve comprar as tábuas para atingir seu objetivo?
A) I
B) II
C) III
D) IV
E) V
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Cálculo de Área de Retângulos
- Operações Aritméticas (Multiplicação, Divisão, Subtração)
- Raciocínio Lógico e Otimização
Tema/Objetivo Geral: Otimização de compra de material para minimizar o desperdício, com base no cálculo de área.
Nível da Questão: Médio.
- Detalhe do nível: A questão é considerada de nível médio porque não se resume a um cálculo único. Ela exige um processo analítico repetitivo (calcular a necessidade para cada uma das cinco opções) e a comparação dos resultados para tomar a melhor decisão. A interpretação do comando “minimizar a sobra” é a chave.
Gabarito: Alternativa D.
- A alternativa está correta porque, ao calcular a quantidade de tábuas necessárias de cada tipo para atingir a área total desejada, a madeira IV é a que resulta na menor sobra de material (menor desperdício).
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“tendo como objetivo minimizar a sobra de madeira (…) Em qual madeireira o marceneiro deve comprar as tábuas para atingir seu objetivo?”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para identificarmos qual, entre as cinco opções de tábuas, é a mais vantajosa para o marceneiro, ou seja, qual delas vai gerar o menor desperdício de madeira após a construção das prateleiras.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é calcular a sobra (desperdício) de madeira para cada uma das cinco opções e, em seguida, apontar qual delas tem o menor valor de sobra.
1.4 Pergunta de Atenção
Você notou a informação crucial de que ele pode fazer “qualquer tipo de emenda”? Isso significa que não precisamos nos preocupar em encaixar peças de 30×120 cm dentro das tábuas. O que importa é a área total de madeira!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver este problema, precisamos de dois conceitos simples:
- Área de um Retângulo: É o espaço que uma figura retangular ocupa. A fórmula é muito simples:
Área = Comprimento × Largura
- Otimização (Minimizar Desperdício): É o processo de encontrar a melhor solução entre várias opções, seguindo um critério. Neste caso, o critério é “menor sobra”.
- Fórmula do Desperdício: Desperdício = (Área Total Comprada) – (Área Total Necessária)
- Exemplo do cotidiano: Você precisa de 7 ovos para uma receita. Os ovos são vendidos em caixas de 6 ou 12. Se comprar a de 12, terá uma sobra de 5 ovos. Se comprar duas de 6, terá 12 ovos e a mesma sobra de 5. A otimização seria encontrar uma embalagem que te deixasse com a menor sobra possível.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos “mastigar” o problema: um marceneiro precisa de uma certa quantidade de madeira para fazer 5 prateleiras. Ele foi a 5 lojas, e cada uma vende tábuas de um tamanho diferente. Como ele pode cortar e emendar as sobras, o que importa para ele é comprar a quantidade total de madeira (em área) que precisa, mas com o menor desperdício possível. Nossa tarefa é fazer as contas para ele e dizer qual loja oferece o melhor negócio em termos de aproveitamento.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será o seguinte:
- Calcular a área total de madeira que ele precisa para as 5 prateleiras.
- Para cada uma das 5 madeireiras, calcular a área de uma única tábua.
- Descobrir quantas tábuas ele precisa comprar no mínimo em cada caso.
- Calcular a área total comprada e a sobra (desperdício) para cada opção.
- Comparar as sobras e escolher a menor.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos seguir nossa estratégia.
1. Calcular a Área Total Necessária:
- Dimensões de cada prateleira: 30 cm × 120 cm
- Área de 1 prateleira = 30 * 120 = 3.600 cm²
- Total de prateleiras: 5
- Área Total Necessária = 5 * 3.600 = 18.000 cm²
2. Analisar cada Madeireira:
Agora, vamos calcular o desperdício para cada opção.
- Madeireira I (Tábuas de 40 x 100 cm):
Área de 1 tábua = 40 * 100 = 4.000 cm²
Tábuas necessárias = 18.000 / 4.000 = 4,5. Como não se pode comprar meia tábua, ele precisa comprar 5 tábuas.
Área total comprada = 5 * 4.000 = 20.000 cm²
Desperdício = 20.000 – 18.000 = 2.000 cm²
- Madeireira II (Tábuas de 30 x 110 cm):
Área de 1 tábua = 30 * 110 = 3.300 cm²
Tábuas necessárias = 18.000 / 3.300 ≈ 5,45. Ele precisa comprar 6 tábuas.
Área total comprada = 6 * 3.300 = 19.800 cm²
Desperdício = 19.800 – 18.000 = 1.800 cm²
- Madeireira III (Tábuas de 35 x 120 cm):
Área de 1 tábua = 35 * 120 = 4.200 cm²
Tábuas necessárias = 18.000 / 4.200 ≈ 4,28. Ele precisa comprar 5 tábuas.
Área total comprada = 5 * 4.200 = 21.000 cm²
Desperdício = 21.000 – 18.000 = 3.000 cm²
- Madeireira IV (Tábuas de 25 x 150 cm):
Área de 1 tábua = 25 * 150 = 3.750 cm²
Tábuas necessárias = 18.000 / 3.750 = 4,8. Ele precisa comprar 5 tábuas.
Área total comprada = 5 * 3.750 = 18.750 cm²
Desperdício = 18.750 – 18.000 = 750 cm²
- Madeireira V (Tábuas de 20 x 200 cm):
Área de 1 tábua = 20 * 200 = 4.000 cm²
Tábuas necessárias = 18.000 / 4.000 = 4,5. Ele precisa comprar 5 tábuas.
Área total comprada = 5 * 4.000 = 20.000 cm²
Desperdício = 20.000 – 18.000 = 2.000 cm²
4.2 Verificação Intermediária
Resumindo os desperdícios: I (2.000), II (1.800), III (3.000), IV (750), V (2.000). O menor valor encontrado foi de 750 cm², correspondente à Madeireira IV.
4.3 Possível armadilha
Uma armadilha comum seria escolher a madeira III porque ela tem 120 cm de comprimento, a mesma medida de uma prateleira, pensando em “facilitar o corte”. No entanto, o enunciado deixa claro que as emendas são permitidas, tornando a área total o único critério importante. Outro erro seria não arredondar o número de tábuas para cima, o que resultaria em uma quantidade de madeira insuficiente.
4.4 fechamento e expectativa
Nossos cálculos mostram claramente que a opção com o menor desperdício é a da Madeireira IV. Agora, vamos confirmar se essa é uma das alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
a) I
b) II
c) III
d) IV
e) V
5.2 Justificativa Individual
- a) I – 🔴 Incorreta. Gera um desperdício de 2.000 cm².
- b) II – 🔴 Incorreta. Gera um desperdício de 1.800 cm².
- c) III – 🔴 Incorreta. É a opção com o maior desperdício, 3.000 cm².
- d) IV – 🟢 Correta. Conforme nossos cálculos, é a opção com o menor desperdício de madeira, apenas 750 cm².
- e) V – 🔴 Incorreta. Gera um desperdício de 2.000 cm², igual à opção I.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi encontrada calculando-se primeiramente a área total de madeira necessária. Em seguida, para cada opção, determinamos a área total que seria comprada (arredondando para cima o número de tábuas) e, por fim, calculamos a sobra, escolhendo a opção com o menor valor.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a D), IV.
6.3 Resumo Final para Revisão
🔍 Em problemas de minimização de sobra onde o material pode ser emendado, foque na área total. Calcule o total necessário e veja qual opção de compra chega mais perto desse valor, sempre por cima.
