Uma escola analisou as propostas de cinco empresas para alugar uma máquina fotocopiadora que atenda à demanda de 12000 cópias mensais. Cada empresa cobra um valor fixo pelo aluguel mensal da máquina, mais um valor proporcional ao número de cópias realizadas, ambos em real. Assim, o custo total C, do aluguel de uma máquina, que atenda a uma demanda de x cópias mensais, em cada uma das cinco empresas, pode ser dado pelas expressões:
• empresa I: C = 500 + 0,40x;
• empresa II: C = 800 + 0,50x;
• empresa III: C = 2000 + 0,20x;
• empresa IV: C = 1100 + 0,25x;
• empresa V: C = 600 + 0,30x.
A escola escolheu a empresa que apresentou a proposta que fornecia o serviço necessário pelo menor custo mensal.
A empresa escolhida foi a
A) I.
B) II.
C) III.
D) IV.
E) V
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Matemática Básica (Funções do 1º Grau / Função Custo) e Aritmética (Operações com Decimais).
Tema/Objetivo Geral: Comparar valores numéricos obtidos através da substituição de uma variável (x) em cinco funções lineares diferentes para encontrar o valor mínimo.
Nível da Questão: Fácil.
Por que Fácil? Não exige manipulação algébrica complexa nem interpretação de texto difícil. É pura “força bruta”: substituir o número 12.000 nas cinco fórmulas e ver qual dá a conta menor. O único risco é errar a multiplicação com vírgula.
Gabarito: D (IV).
A alternativa está correta pois, ao calcularmos o custo total para 12.000 cópias em todas as empresas, a Empresa IV apresentou o valor de R$ 4.100,00, que foi o menor de todos.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A questão te dá 5 “receitas de bolo” (fórmulas) para calcular o preço do aluguel.
O ingrediente principal é o número de cópias: x = 12.000.
O objetivo é calcular o preço nas 5 empresas e descobrir qual é a mais barata (menor custo).
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que você vai pegar um táxi.
- Cada empresa cobra um valor para entrar no carro (taxa fixa) + um valor por quilômetro rodado (taxa variável).
- Você vai rodar 12.000 km (é uma viagem longa!).
- Qual táxi cobra menos no final? É só fazer a conta.
Plano de Ataque:
- Substituir: Colocar 12.000 no lugar do “x” em cada opção.
- Calcular: Multiplicar o valor da cópia por 12.000 e somar o fixo.
- Comparar: Circular o menor valor.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos usar a Aritmética Estratégica.
Para ganhar tempo nas multiplicações com 12.000, use frações ou corte zeros:
- Multiplicar por 0,50 é o mesmo que dividir por 2 (Metade).
- Multiplicar por 0,25 é o mesmo que dividir por 4 (Um quarto).
- Multiplicar por 0,20 é o mesmo que dividir por 5 (ou multiplicar por 2 e cortar um zero).
- Multiplicar 0,40 x 12.000: Corte dois zeros do milhar e suma com as duas casas decimais. Fica 40 x 120.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos aos cálculos empresa por empresa (x = 12.000):
Empresa I:
C = 500 + (0,40 x 12.000)
0,40 x 12.000 = 4.800
Total = 500 + 4.800 = R$ 5.300,00
Empresa II:
C = 800 + (0,50 x 12.000)
0,50 é a metade. Metade de 12.000 é 6.000.
Total = 800 + 6.000 = R$ 6.800,00 (A mais cara até agora).
Empresa III:
C = 2.000 + (0,20 x 12.000)
0,20 x 12.000 = 2.400
Total = 2.000 + 2.400 = R$ 4.400,00 (Ficou boa!).
Empresa IV:
C = 1.100 + (0,25 x 12.000)
0,25 é dividir por 4. 12.000 dividido por 4 dá 3.000.
Total = 1.100 + 3.000 = R$ 4.100,00 (A nova líder! Mais barata que a III).
Empresa V:
C = 600 + (0,30 x 12.000)
0,30 x 12.000 = 3.600
Total = 600 + 3.600 = R$ 4.200,00 (Chegou perto, mas perdeu para a IV).
O Veredito:
Comparando os valores finais:
5.300 | 6.800 | 4.400 | 4.100 | 4.200
A vencedora é a Empresa IV.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
A ilusão do Custo Fixo Baixo.
A Empresa I tem o menor custo fixo (500 reais). Muita gente marca a letra A sem fazer conta, achando que ela é a mais barata.
Erro fatal! Como o volume de cópias é alto (12.000), o preço da cópia (0,40) pesa muito mais que o fixo. A Empresa I acabou sendo uma das mais caras por causa do custo variável alto. Sempre faça a conta!
A Bússola (Síntese):
A Empresa IV venceu com custo total de 4.100 reais.
Expectativa: Alternativa D.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) I.
- Diagnóstico do Erro: O aluno pode ter olhado apenas o custo fixo (500), que é o menor de todos, ignorando o peso das cópias. Custo real: 5.300.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.
- B) II.
- Diagnóstico do Erro: O aluno pode ter errado a conta de 0,50 x 12.000 ou chutado. É a opção mais cara de todas (6.800).
- Conclusão: 🔴 Incorreta.
- C) III.
- Diagnóstico do Erro: A Empresa III tem o menor custo por cópia (0,20). O aluno pode ter olhado só isso e marcado. Porém, o custo fixo dela é altíssimo (2.000), o que a fez perder para a IV e V. Custo real: 4.400.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.
- D) IV.
- Análise: Perfeita. O equilíbrio entre um custo fixo médio (1.100) e um custo variável baixo (0,25) resultou no menor valor global (4.100).
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
- E) V.
- Diagnóstico do Erro: Erro de cálculo por pouco. Ela custou 4.200, ficando apenas 100 reais mais cara que a vencedora.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
Para determinar a proposta mais econômica em funções de custo, deve-se substituir a demanda prevista (12.000) em cada expressão algébrica; a Empresa IV apresentou o menor custo total (R$ 4.100,00), equilibrando o valor fixo e o variável.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Não julgue o livro pela capa (custo fixo), nem pelo miolo (custo variável). Leia o livro inteiro (faça a conta total)!”
🧠 Para ir Além (Economia):
Isso se chama Ponto de Equilíbrio entre tarifas.
- Se fizéssemos pouquíssimas cópias (ex: 100), a Empresa I seria a melhor (pois o fixo de 500 é baixo).
- Se fizéssemos milhões de cópias, a Empresa III venceria (pois o custo por cópia de 0,20 é imbatível a longo prazo).
- Para 12.000 cópias, a Empresa IV foi o “meio termo” ideal.
