Questão 162, caderno azul do ENEM 2015

Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 1 080 cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor que 2 m.

Atendendo o pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir

A) 105 peças.

B) 120 peças.

C) 210 peças.

D) 243 peças.

E) 420 peças.

Resolução em texto

Matérias Necessárias: Razão e Proporção; Álgebra (Equação Quadrática); Cálculo de Áreas.

Nível da Questão: Médio

✅ Gabarito: E) 420 peças

🎯 Objetivo Geral: Determinar o maior comprimento dd (em cm), menor que 200, que divida sem sobra as tábuas de 540, 810 e 1080 cm, e calcular quantas peças resultam.

Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

1.1 Transcrição Essencial (📌)

“…cortasse as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor que 2 m.”

1.2 O que está sendo pedido? (📌)
Achar dd (em cm), tal que:

d divide 540, 810 e 1080 sem sobra;
d < 200;
d seja o maior valor possível.
Em seguida, calcular quantas peças de comprimento d são obtidas a partir de cada grupo de tábuas.

1.3 Objetivo Cristalino (📌)

Determinar dd, o maior divisor comum de 540, 810 e 1080 que seja menor que 200.
Calcular quantas peças de tamanho dd resultam.

1.4 Pergunta de Atenção (✔)
Lembre-se: o MDC inicial de 540, 810 e 1080 é 270, mas 270 > 200. Então precisamos encontrar, entre os divisores de 270, o maior que seja < 200.

Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários

2.1 Definições e Fórmulas (📌)

MDC (Máximo Divisor Comum) de três números: maior inteiro que divide todos sem resto.
Divisor Menor que 200: Se MDC > 200, listamos os divisores de MDC e escolhemos o maior abaixo de 200.
Número de peças a partir de uma tábua de comprimento LL cm, cortada em pedaços de tamanho dd cm, sem sobras, é:
número_de_peças = L ÷ d.

2.2 Dúvida Comum e Resposta (❓✔)

“Por que não usar diretamente 270 cm, já que é o MDC?”
✔ Porque 270 > 200. Precisamos do maior divisor de 270 que seja menor que 200.

Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema

3.1 Contextualização Simplificada (📌)

O carpinteiro tem:
- 40 tábuas de 540 cm cada;
- 30 tábuas de 810 cm cada;
- 10 tábuas de 1080 cm cada.
Ele precisa cortá-las em pedaços todos do mesmo comprimento dd cm, sem restar nada em nenhuma tábua, e quer que dd seja o maior possível mas menor que 200.

3.2 Estratégia Geral (📌)

Calcular MDC = 270.
Como 270 > 200, obter os divisores de 270 e escolher o maior valor < 200, que será 135.
Cortar cada tábua em pedaços de 135 cm:
- de 540 cm resultam 4 peças;
- de 810 cm resultam 6 peças;
- de 1080 cm resultam 8 peças.
Somar todas as peças.

Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos

4.1 Passo a Passo Detalhado (📌)

Fatorar 540, 810 e 1080 para encontrar o MDC
- 540 em fatores:
  - 540 = 2 × 270
  - 270 = 2 × 135
  - 135 = 3 × 45
  - 45 = 3 × 15
  - 15 = 3 × 5
    → portanto,
    540 = 2² × 3³ × 5¹
- 810 em fatores:
  - 810 = 2 × 405
  - 405 = 3 × 135
  - 135 = 3 × 45
  - 45 = 3 × 15
  - 15 = 3 × 5
    → portanto,
    810 = 2¹ × 3⁴ × 5¹
- 1080 em fatores:
  - 1080 = 2 × 540
  - 540 = 2² × 3³ × 5¹ (já calculado)
    → portanto,
    1080 = 2³ × 3³ × 5¹
Calcular o MDC
- Fatores comuns com menor expoente:
  - Fator 2: aparece como 2² em 540, 2¹ em 810, 2³ em 1080 → menor expoente = 1.
  - Fator 3: aparece como 3³ em 540, 3⁴ em 810, 3³ em 1080 → menor expoente = 3.
  - Fator 5: aparece como 5¹ em todos → menor expoente = 1.
- Então,
  MDC = 2¹ × 3³ × 5¹ = 2 × 27 × 5 = 270.
Verificação de MDC > 200?
- 270 > 200, portanto não podemos usar 270 cm.
- Precisamos do maior divisor de 270 que seja menor que 200.
Achar o maior divisor de 270 < 200
- Dividindo 270 por 2 → 135; 135 < 200, então é candidato.
- Dividindo por 3 → 270 ÷ 3 = 90, mas 135 > 90, então 135 é maior.
- Dividindo por 5 → 270 ÷ 5 = 54, mas 135 > 54.
- Outros divisores (por 6, 9, etc.) são, naturalmente, menores que 135
- → O maior divisor de 270 abaixo de 200 é 135.
Logo, d=135 cm
Calcular quantas peças de 135 cm cada tábua gera
- Para as 40 tábuas de 540 cm:
  - 540 ÷ 135 = 4, então cada tábua rende 4 peças.
  - Total deste grupo = 4 × 40 = 160 peças.
- Para as 30 tábuas de 810 cm:
  - 810 ÷ 135 = 6, então cada tábua rende 6 peças.
  - Total deste grupo = 6 × 30 = 180 peças.
- Para as 10 tábuas de 1080 cm:
  - 1080 ÷ 135 = 8, então cada tábua rende 8 peças.
  - Total deste grupo = 8 × 10 = 80 peças.
Somar todas as peças
- 160 + 180 + 80 = 420 peças.

4.2 Verificação Intermediária (📌)

Verificamos que 135 realmente divide 540, 810 e 1080 sem sobra.
O comprimento 135 < 200 cumpre a condição exigida.

Passo 5: Análise das Alternativas

5.1 Listagem das Alternativas
A) 105 peças
B) 120 peças
C) 210 peças
D) 243 peças
E) 420 peças

5.2 Justificativa Individual

A) 105 peças ❌
- Não corresponde ao cálculo com divisor 135.
B) 120 peças ❌
- Valor muito abaixo do total obtido com divisor 135.
C) 210 peças ❌
- Se usássemos divisor 270 (impróprio), teríamos 210 peças, mas 270 > 200, logo não atende.
D) 243 peças ❌
- Não coincide com nenhum divisor < 200 que maximize dd.
E) 420 peças ✅
- Confere exatamente com as divisões em pedaços de 135 cm:
  - 540 ÷ 135 = 4 → 40×4 = 160
  - 810 ÷ 135 = 6 → 30×6 = 180
  - 1080 ÷ 135 = 8 → 10×8 = 80
    → Soma = 420.

Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

6.1 Resumo do Raciocínio (📌)

O MDC inicial de 540, 810 e 1080 é 270, mas 270 > 200.
Encontramos, entre os divisores de 270, o maior menor que 200: 135.
Cada tábua é dividida em pedaços de 135 cm, resultando em 420 peças no total.

6.2 Gabarito Reafirmado (📌)
✅ Alternativa E) 420 peças

6.3 Resumo Final para Revisão (🔍)
Para cortar vários comprimentos em partes iguais, calcule o MDC. Se ele exceder o limite, ache o maior divisor do MDC que respeite o limite, e divida cada comprimento por esse valor.