Uma indústria produz malhas de proteção solar para serem aplicadas em vidros, de modo a diminuir a passagem de luz, a partir de fitas plásticas entrelaçadas perpendicularmente. Nas direções vertical e horizontal, são aplicadas fitas de 1 milímetro de largura, tal que a distância entre elas é de (d – 1) milímetros, conforme a figura. O material utilizado não permite a passagem da luz, ou seja, somente o raio de luz que atingir as lacunas deixadas pelo entrelaçamento consegue transpor essa proteção.
A taxa de cobertura do vidro é o percentual da área da religião coberta pelas fitas da mala, que são colocadas paralelamente às bordas do vidro.
Essa indústria recebeu a encomenda de uma malha de proteção solar para ser aplicada em um vidro retangular de 5 m de largura por 9 m de comprimento.
A medida de d, em milímetros, para que a taxa de cobertura da malha seja de 75% é
A) 2
B) 1
C) 11/3
D) 4/3
E) 2/3
Resolução em texto
Matérias Necessárias: Razão e Proporção; Álgebra (Equação Quadrática); Cálculo de Áreas.
Nível da Questão: Médio
✅ Gabarito: A) 2 mm
🎯 Objetivo Geral: Calcular d de forma que a área coberta pelas fitas seja 75% da área total de cada célula da malha.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial (📌)
“A medida de d, em milímetros, para que a taxa de cobertura da malha seja de 75% é ____.”
1.2 O que está sendo pedido? (📌)
Encontrar o valor de d tal que, em cada célula quadrada de lado d, exatamente 75% da área seja ocupada pelas fitas pretas.
1.3 Objetivo Cristalino (📌)
Determinar d que satisfaça a relação:
- (área preta em uma célula) ÷ (área total da célula) = 0,75.
1.4 Pergunta de Atenção (✔)
Você lembrou que dentro de cada quadrado de lado d há a sobreposição da faixa vertical e da faixa horizontal, e que esse quadradinho 1 mm × 1 mm precisa ser subtraído uma vez?
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas (📌)
- Área total de cada célula:
- É um quadrado de lado d (em mm).
- Área total = d × d = d².
- Área ocupada pelas fitas pretas dentro da mesma célula:
- Faixa vertical de largura 1 mm e altura d → área 1 × d = d.
- Faixa horizontal de altura 1 mm e largura d → área d × 1 = d.
- Interseção (sobreposição) é um quadrado 1 mm × 1 mm → área 1.
- Logo, área preta = d + d − 1 = 2d − 1.
- Taxa de cobertura para cada célula:
- Taxa = (área preta) ÷ (área total) = (2d − 1) / d².
2.2 Dúvida Comum e Resposta (❓✔)
“Por que subtrair 1 mm²?”
✔ Porque esse quadradinho onde as fitas se cruzam foi contado duas vezes: uma na faixa vertical e outra na horizontal. Para não duplicar, subtrai-se 1.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada (📌)
- Cada célula da malha é um quadrado de lado d.
- Dentro dele, a faixa vertical ocupa 1 mm × d, a faixa horizontal ocupa d × 1 mm. Como esse quadradinho 1 mm × 1 mm foi somado duas vezes, descontamos 1.
- Queremos que 75% da área total do quadrado seja preta, ou seja, área preta = 0,75 · d².
3.2 Estratégia Geral (📌)
- Escrever a equação (2d − 1)/d² = 0,75.
- Resolver para d, obtendo uma equação quadrática.
- Escolher a raiz válida (a que faz sentido fisicamente, ou seja, d ≥ 1).
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado (📌)
- Taxa de cobertura = 75% →
(2d − 1)/d² = 0,75. - Escrever 0,75 como fração:
0,75 = 3/4.
Então: (2d − 1)/d² = 3/4. - Multiplicar ambos os lados por d²:
2d − 1 = (3/4) · d². - Multiplicar pelos 4 para eliminar o denominador:
4·(2d − 1) = 3·d²
→ 8d − 4 = 3d². - Colocar em forma padrão (igual a zero):
3d² − 8d + 4 = 0. - Calcular o discriminante Δ:
Δ = (−8)² − 4·3·4 = 64 − 48 = 16. - Encontrar as raízes usando d = [8 ± √Δ] / (2·3):
- √Δ = √16 = 4.
- d₁ = (8 + 4) / 6 = 12/6 = 2.
- d₂ = (8 − 4) / 6 = 4/6 = 2/3.
4.2 Verificação Intermediária (📌)
- Para d = 2/3: o espaço entre fitas seria d − 1 = −1/3, impossível.
- Portanto, a única solução viável é d = 2 mm.
Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 2 mm
B) 1 mm
C) 11/3 mm
D) 4/3 mm
E) 2/3 mm
5.2 Justificativa Individual
- A) 2 mm ✅
- Atua como a raiz válida que satisfaz (2d − 1)/d² = 0,75 e gera gap positivo.
- B) 1 mm ❌
- Se d = 1, então gap = 0, e área preta = 1 + 1 − 1 = 1. Área total = 1² = 1, logo cobertura = 100%, não 75%.
- C) 11/3 mm ❌
- Substituir em (2d − 1)/d² não resulta em 0,75.
- D) 4/3 mm ❌
- Gap = 4/3 − 1 = 1/3. Substituindo em (2d − 1)/d² obtém-se
(2·(4/3) − 1)/(4/3)² = (8/3 − 1)/(16/9) = (5/3) / (16/9) = (5/3)●(9/16) = 45/48 ≈ 0,9375, não 0,75.
- Gap = 4/3 − 1 = 1/3. Substituindo em (2d − 1)/d² obtém-se
- E) 2/3 mm ❌
- Gap fica 2/3 − 1 = −1/3, impossível, pois a distância não pode ser negativa.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio (📌)
Escrevemos (2d − 1)/d² = 0,75, obtivemos a equação 3d² − 8d + 4 = 0, cujas raízes são 2 e 2/3. Apenas d = 2 mm é fisicamente válido.
6.2 Gabarito Reafirmado (📌)
✅ Alternativa A) 2 mm
6.3 Resumo Final para Revisão (🔍)
Em malhas de fitas de 1 mm, a área preta em cada célula é 2d − 1 e a área total é d². Para obter 75% de cobertura, resolva (2d − 1)/d² = 0,75 e escolha a raiz que torne o gap positivo.
