Uma fábrica brasileira de exportação de peixes vende para o exterior atum em conserva, em dois tipos de latas cilíndricas: uma de altura igual a 4 cm e raio 6 cm, e outra de altura desconhecida e raio de 3 cm, respectivamente, conforme figura. Sabe-se que a medida do volume da lata que possui raio maior, V1, é 1,6 vezes a medida do volume da lata que possui raio menor, V2
A medida da altura desconhecida vale
A) 8 cm.
B) 10 cm.
C) 16 cm.
D) 20 cm.
E) 40 cm.
Resolução em Texto
📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Fórmula do volume do cilindro
- Comparação de volumes
- Manipulação algébrica de equações
📔 Nível da Questão:
- Média – A questão exige aplicação da fórmula do volume e manipulação algébrica básica, com substituição e resolução de equação.
✅ Gabarito:
- Letra B
🎯 Tema/Objetivo Geral:
- Volume de sólidos geométricos — cilindros
🔷 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1️⃣ Comando Essencial:
“A medida da altura desconhecida vale”
2️⃣ O que está sendo pedido?
Calcular a altura da lata de raio menor, sabendo que o volume da outra lata é 1,6 vezes maior.
3️⃣ Objetivo Cristalino:
Aplicar a fórmula do volume de cilindro para cada lata, montar uma equação com base na relação entre os volumes e encontrar o valor da altura.
4️⃣ Dica Geral:
Lembre-se de que o volume do cilindro depende do raio ao quadrado e da altura, ou seja:
V = π · r² · h
5️⃣ ✔ Pergunta de Atenção:
Você já se perguntou por que latas mais “gordinhas” podem ter mais volume mesmo com menor altura? O raio influencia muito porque está elevado ao quadrado!
6️⃣ 💬 Dúvida Comum:
Muitos alunos erram ao achar que dobrar o raio ou a altura tem o mesmo efeito no volume. Mas o raio está ao quadrado, então ele impacta mais!
🔷 Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
Volume do cilindro:V = π · r² · h
Quando comparamos dois volumes, podemos eliminar π dos dois lados da equação, se ele for comum.
A relação dada é:V₁ = 1,6 · V₂
Substituímos os dados conhecidos para formar uma equação e isolar a variável x (altura da lata menor).
🔷 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
Lata maior:
- Raio: 6 cm
- Altura: 4 cm
- Volume:
V₁ = π · 6² · 4 = π · 36 · 4 = 144π
Lata menor:
- Raio: 3 cm
- Altura: x
- Volume:
V₂ = π · 3² · x = π · 9 · x = 9πx
Relação:V₁ = 1,6 · V₂ → 144π = 1,6 · 9πx
🔷 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Começamos da equação:
144π = 1,6 · 9πx
Dividimos ambos os lados por π:
144 = 1,6 · 9x
Multiplicamos:1,6 · 9 = 14,4
Logo:
144 = 14,4x
Agora isolamos x:x = 144 / 14,4 = 10
🔷 Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
A) 8 cm → ❌ Menor do que o necessário
B) 10 cm → ✅ Correto!
C) 16 cm → ❌ Valor arbitrário incorreto
D) 20 cm → ❌ Muito alto
E) 40 cm → ❌ Exageradamente alto
🔷 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
✅ A altura da lata menor que garante que o volume da lata maior seja 1,6 vezes maior é 10 cm, pois:
V₁ = 144πV₂ = 9πxV₁ = 1,6 · V₂ → 144π = 1,6 · 9πx → x = 10
✅ Gabarito: Letra B
