O administrador de um teatro percebeu que, com o ingresso do evento a R$20,00, um show conseguia atrair 200 pessoas e que, a cada R$1,00 de redução no preço do ingresso, o número de pessoas aumentava em 40. Ele sabe que os donos do teatro só admitem trabalhar com valores inteiros para os ingressos, pela dificuldade de disponibilizar troco, e pretende convencê-los a diminuir o preço do ingresso. Assim, apresentará um gráfico da arrecadação em função do valor do desconto no preço atual do ingresso.
O gráfico que mais se assemelha ao que deve ser elaborado pelo administrador é
Resolução em Texto
Matérias necessárias: Matemática (funções quadráticas e interpretação de gráficos).
Gabarito: E.
Nível de dificuldade: Médio (padrão ENEM).
Habilidades necessárias: Modelagem matemática, análise de funções quadráticas e interpretação gráfica.
1º Passo: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Comando da questão: Identificar o gráfico que melhor representa a arrecadação em função do desconto aplicado no preço do ingresso.
Palavras-chave: “gráfico”, “arrecadação”, “desconto”.
Objetivo: Encontrar a relação matemática entre o desconto e a arrecadação, analisando a compatibilidade com os gráficos apresentados.
Dica Geral: ⚠️ Gráficos de funções quadráticas (parábolas) indicam um comportamento com ponto máximo ou mínimo; atenção aos valores inteiros no eixo.
2º Passo: Tradução e Interpretação dos Dados
- Preço inicial do ingresso: R$20.
- Número inicial de pessoas: 200.
- Cada desconto de R$1 aumenta 40 pessoas no público.
- Arrecadação (f(x)): Produto do preço do ingresso pelo número de pessoas presentes.
- x: Valor do desconto em reais (inteiros).
Modelando o problema:
3º Passo: Desenvolvimento da Equação
Expandindo a expressão:
A função
representa uma parábola voltada para baixo (coeficiente de x² negativo), com ponto máximo, ideal para esta situação.
4º Passo: Análise das Alternativas
Alternativas apresentadas:
- A e B: São funções crescentes, o que não condiz com o comportamento esperado de uma parábola que atinge um ponto máximo.
- C: Função linear decrescente, inadequada para este caso.
- D: Representa uma parábola contínua, mas não respeita a condição de valores inteiros no eixo do desconto (x).
- E: Representa uma parábola discreta, condizente com a condição de valores inteiros para x e o comportamento da função modelada.
Conclusão: A alternativa correta é E, pois representa corretamente a arrecadação como uma função quadrática discreta.
- Dica Geral: ⚠️ Sempre verifique se os gráficos respeitam as restrições impostas pelo problema, como valores inteiros ou contínuos.
5º Passo: Conclusão e Justificativa Final
- Conclusão: O gráfico que melhor representa a arrecadação em função do desconto no preço do ingresso é o gráfico E.
- Resumo Final: A função
modela a arrecadação, exibindo um ponto máximo em valores inteiros. Apenas a alternativa E cumpre todos os requisitos do problema, sendo, portanto, a resposta correta.
