O administrador de um teatro percebeu que, com o ingresso do evento a R$20,00, um show conseguia atrair 200 pessoas e que, a cada R$1,00 de redução no preço do ingresso, o número de pessoas aumentava em 40. Ele sabe que os donos do teatro só admitem trabalhar com valores inteiros para os ingressos, pela dificuldade de disponibilizar troco, e pretende convencê-los a diminuir o preço do ingresso. Assim, apresentará um gráfico da arrecadação em função do valor do desconto no preço atual do ingresso.
O gráfico que mais se assemelha ao que deve ser elaborado pelo administrador é
✍ “Resolução Em Texto”
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Funções: Função Quadrática/Parábola e Domínio de Funções).
Tema/Objetivo Geral:
Modelar uma situação de receita financeira (Preço x Quantidade) que resulta em uma Função de 2º Grau e identificar o gráfico correspondente, prestando atenção à natureza da variável (números inteiros vs. contínuos).
Nível da Questão
Médio.
Exige a modelagem da equação (multiplicação de dois termos) para perceber que vira uma parábola. O “pulo do gato” é a distinção entre linha contínua e pontos isolados.
Gabarito
Letra E.
A alternativa está correta pois a função Arrecadação é uma parábola com concavidade para baixo (sobe e depois desce). Além disso, como os descontos só podem ser números inteiros (R1,R2…), o gráfico deve ser formado por pontos (discreto), e não por uma linha contínua.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
O administrador quer saber como o dinheiro que entra (Arrecadação) varia conforme ele dá descontos.
- Se o desconto é 0, entra um valor.
- Se o desconto aumenta, entra mais gente, e o valor sobe.
- Mas se o desconto for grande demais (ingresso muito barato), mesmo com muita gente, o valor total começa a cair.
O examinador quer que você identifique o desenho dessa curva e respeite uma regra importante: só existem descontos de valores inteiros (não pode dar desconto de R$ 1,50).
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que você vende limonada.
Se cobrar caro, ninguém compra.
Se cobrar barato demais, vende muito, mas você não ganha nada.
O “ponto ideal” está no meio.
O gráfico do lucro começa baixo, sobe até o topo (máximo) e depois cai de novo. Isso tem formato de Montanha (Parábola com boca para baixo).
Além disso, a questão diz que você só aceita notas de 1 real. Então o gráfico não é um escorregador liso, é uma escada de pontos.
Plano de Ataque:
- Montar a Equação: Arrecadação = Preço x Pessoas.
- Identificar o Formato: Ver se é uma reta ou uma curva quadrática (x²).
- Aplicar a Restrição: Verificar se o gráfico deve ser linha ou pontilhado.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos abrir a maleta da Álgebra.
Ferramenta 1: A Receita
Arrecadação (R) é sempre o valor do ingresso multiplicado pela quantidade de pessoas.
R = Preço x Público
Ferramenta 2: A Função Quadrática
Quando multiplicamos um termo com “x” por outro termo com “x” (ex: (20 – x) multiplicado por (200 + 40x)), o resultado terá um x².
- Função com x² negativo = Parábola triste (boca para baixo).
Ferramenta 3: Domínio Discreto
- Contínuo: Aceita qualquer número quebrado (1,1; 1,2…). Gráfico é uma linha ligada.
- Discreto: Aceita apenas números inteiros (1, 2, 3…). Gráfico são pontos soltos.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos modelar a função, chamando o desconto de d.
- Preço do Ingresso: Era 20. Com desconto d, vira (20 – d).
- Público: Era 200. A cada 1 real de desconto, aumenta 40. Vira (200 + 40d).
A Função Arrecadação (R):
R(d) = (Preço) x (Público)
R(d) = (20 – d) x (200 + 40d)
Aplicando a distributiva (chuveirinho):
R(d) = 4000 + 800d – 200d – 40d²
R(d) = -40d² + 600d + 4000
Análise:
- É uma equação de 2º grau (tem d²).
- O número na frente do d² é negativo (-40).
- Logo, o gráfico é uma Parábola com a concavidade para baixo (formato de U invertido / Montanha).
O Detalhe Final:
O texto diz: “donos do teatro só admitem trabalhar com valores inteiros”.
Isso significa que o desconto “d” pode ser 1, 2, 3… mas não pode ser 1,5 ou 2,7.
Portanto, o gráfico não pode ser uma linha contínua. Ele deve ser uma sequência de pontos.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO com a alternativa D!
A alternativa D mostra a parábola perfeita desenhada como uma linha contínua. Muitos alunos marcam ela.
Mas a linha contínua sugere que existe arrecadação para desconto de R$ 5,37, por exemplo. O enunciado proibiu isso (“dificuldade de troco”). A representação gráfica correta para números inteiros é um conjunto de pontos separados, não uma curva ligada.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: É uma parábola (porque multiplica preço e público) e é pontilhada (porque só aceita inteiros).
- Expectativa: Gráfico E.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) Reta Crescente Contínua.
- Diagnóstico do Erro: Função Linear incorreta.
- Análise: Sugere que quanto maior o desconto, mais se ganha, infinitamente. Isso é falso. Chega uma hora que o ingresso fica de graça (R$ 0,00) e a arrecadação zera.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) Reta Crescente Pontilhada.
- Diagnóstico do Erro: Função Linear Discreta incorreta.
- Análise: Acertou nos pontos (discreto), mas errou no formato. A relação não é uma linha reta, é uma curva que sobe e desce.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) Reta Decrescente.
- Diagnóstico do Erro: Pessimismo matemático.
- Análise: Sugere que dar desconto sempre diminui o lucro. No início, o desconto atrai tanta gente que compensa a queda do preço, fazendo o lucro subir antes de cair.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) Parábola Contínua.
- Diagnóstico do Erro: O Distrator Perfeito.
- Análise: O formato da curva está certo (Função Quadrática). O erro é conceitual: a linha contínua inclui valores decimais de desconto, o que o texto proibiu explicitamente (“apenas valores inteiros”).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) Parábola Discreta (Pontos).
- Análise de Correspondência: Perfeita.
- Análise:
- Formato: Arco de parábola (sobe até o máximo e desce).
- Traço: Pontos isolados para cada valor inteiro de desconto (1, 2, 3…).
- Representa fielmente a função matemática no domínio dos números inteiros.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
A modelagem do problema revela uma função quadrática (Preço x Demanda), cujo gráfico é uma parábola voltada para baixo; a restrição de “apenas valores inteiros” transforma essa curva contínua em uma sequência de pontos discretos, correspondendo ao gráfico E.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
Multiplicou X com X? Vira parábola. Só aceita inteiros? Vira pontinhos.
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conecte isso com Microeconomia.
Esse ponto mais alto da parábola (o Vértice) é o “Santo Graal” das empresas. Chama-se Ponto de Maximização da Receita. As empresas usam algoritmos para achar exatamente esse preço: nem tão caro que afaste o cliente, nem tão barato que dê prejuízo. É o preço ótimo.
