Uma loja de materiais de construção vende dois tipos de caixas-d’água: tipo A e tipo B. Ambas têm formato cilíndrico e possuem o mesmo volume, e a altura da caixa-d’água do tipo B é igual a 25% da altura da caixa-d’água do tipo A.
Se R denota o raio da caixa-d’água do tipo A, então o raio da caixa-d’água do tipo B é
a) R/2
b) 2R
c) 4R
d) 5R
e) 16R
Resolução Em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial (Volume de Cilindro)
- Álgebra (Manipulação de Equações)
- Matemática (Porcentagem, Frações)
🎯 Tema/Objetivo Geral
Relacionar as dimensões (raio e altura) de dois cilindros de mesmo volume, utilizando álgebra e a fórmula do volume.
📊 Nível da Questão
Fácil.
Por quê? A questão se resume a montar uma equação simples (Volume A = Volume B), substituir as fórmulas e os dados fornecidos, e resolver algebricamente para encontrar a relação entre os raios. É um problema direto de aplicação de fórmula.
✅ Gabarito
Alternativa B.
Resumo: Igualando as fórmulas de volume dos dois cilindros e substituindo a altura de B por 25% (ou 1/4) da altura de A, a altura se cancela na equação, deixando uma relação entre os raios. Ao resolver a equação, encontra-se que o raio de B é o dobro do raio de A (R_B = 2R).
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Se R denota o raio da caixa-d’água do tipo A, então o raio da caixa-d’água do tipo B é”
O que está sendo pedido?
A questão nos pede para encontrar a relação entre o raio da caixa B (vamos chamar de R_B) e o raio da caixa A (R), sabendo que elas têm o mesmo volume e que a altura de B é 25% da altura de A.
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é montar uma equação baseada na igualdade dos volumes, substituir os dados e isolar o raio da caixa B (R_B) para expressá-lo em função de R.
🧠 Se você tem dois copos com a mesma quantidade de suco (mesmo volume), e um deles é bem mais baixinho que o outro, o que você pode dizer sobre a “largura” (o raio da base) desse copo baixinho? Ele tem que ser mais largo para compensar, certo? A matemática vai nos dizer exatamente o quanto.
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Cilindro: Um sólido geométrico com duas bases circulares paralelas e iguais.
- Volume do Cilindro (V): É o produto da área da base pela altura. Como a base é um círculo de área πr², a fórmula é:
V = π ⋅ r² ⋅ h
Onde r é o raio da base e h é a altura. - Porcentagem e Fração: 25% é o mesmo que 25/100, que simplifica para 1/4. É mais fácil trabalhar com a fração no cálculo.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Temos duas caixas-d’água, A e B, em formato de cilindro. A principal informação é que cabe a mesma quantidade de água nas duas, ou seja, V_A = V_B.
O problema nos conta que a caixa B é “achatada”: a altura dela (h_B) é só 1/4 da altura da caixa A (h_A).
Se ela é mais baixa, mas tem o mesmo volume, ela precisa ser mais “gorda”. A pergunta é: quão mais gorda? Ou seja, quantas vezes o raio dela (R_B) é maior que o raio da caixa A (R)?
Estratégia Geral 🗺️
Nossa estratégia será puramente algébrica:
- Escrever a equação principal: V_A = V_B.
- Substituir a fórmula do volume do cilindro em cada lado.
- Substituir a relação entre as alturas (h_B = h_A / 4).
- Simplificar a equação e isolar R_B.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
Etapa 1: Definir as variáveis
- Caixa A: Raio = R_A = R; Altura = h_A
- Caixa B: Raio = R_B; Altura = h_B
Etapa 2: Escrever as relações dadas no problema
- Relação de Volume: V_A = V_B
- Relação de Altura: h_B = 25% de h_A = (1/4) ⋅ h_A
Etapa 3: Montar a equação dos volumes
- V_A = V_B
- (π ⋅ R_A² ⋅ h_A) = (π ⋅ R_B² ⋅ h_B)
Etapa 4: Substituir as relações e simplificar
- Vamos substituir R_A por R e h_B por (h_A / 4) na equação:
- π ⋅ R² ⋅ h_A = π ⋅ R_B² ⋅ (h_A / 4)
- Podemos cancelar os termos que aparecem dos dois lados (π e h_A), pois são diferentes de zero:
- R² = R_B² / 4
- Agora, vamos isolar R_B²:
- R_B² = 4 ⋅ R²
Etapa 5: Encontrar R_B
- Para encontrar R_B, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
- R_B = √(4 ⋅ R²)
- R_B = √4 ⋅ √R²
- R_B = 2R
Conclusão: O raio da caixa-d’água do tipo B é o dobro (2R) do raio da caixa-d’água do tipo A.
A Armadilha Comum 🚨
A principal armadilha é a manipulação incorreta da álgebra. Um aluno pode se confundir com os quadrados e, ao chegar em R_B² = 4R², pensar que R_B = 4R, esquecendo de tirar a raiz quadrada de 4 (levando à alternativa C). Outro erro seria inverter a relação de altura, o que levaria a um resultado de R/2.
Fechamento e Expectativa
O cálculo algébrico nos levou ao resultado de que R_B = 2R. Agora, vamos procurar essa resposta nas alternativas.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) R/2
Incorreta. Este seria o resultado se a altura de B fosse 4 vezes a altura de A.
🟢 B) 2 R
Correta. Corresponde exatamente ao resultado encontrado.
🔴 C) 4 R
Incorreta. Este seria o resultado se a relação fosse R_B² = 16R².
🔴 D) 5 R
Incorreta.
🔴 E) 16 R
Incorreta.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
O problema estabelece que duas caixas-d’água cilíndricas, A e B, possuem o mesmo volume. A relação entre suas dimensões é que a altura de B (h_B) é 25% (ou 1/4) da altura de A (h_A). Partindo da igualdade dos volumes (V_A = V_B), substituímos a fórmula do volume do cilindro para ambos os lados: π⋅R_A²⋅h_A = π⋅R_B²⋅h_B. Substituindo h_B por h_A/4 e simplificando os termos comuns (π e h_A), chegamos à equação R_A² = R_B²/4. Isolando R_B, encontramos que R_B² = 4⋅R_A², e, ao extrair a raiz quadrada, R_B = 2⋅R_A. Portanto, o raio da caixa B é o dobro do raio da caixa A.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a B.
Resumo Final para Revisão 🔍
Lembre-se da fórmula do volume do cilindro: V = πr²h. O volume é proporcional ao quadrado do raio. Se a altura diminui por um fator de 4, o raio ao quadrado precisa aumentar por um fator de 4 para compensar. Se r² aumenta por 4, o raio r aumenta por √4 = 2.
