A fabricação da Bandeira Nacional deve obedecer ao descrito na Lei n. 5.700, de 1º de setembro de 1971, que trata dos Símbolos Nacionais. No artigo que se refere às dimensões da Bandeira, observa-se:
“Para cálculos das dimensões, será tomada por base a largura, dividindo-a em 14 (quatorze) partes iguais, sendo que cada uma das partes será considerada uma medida ou um módulo (M). Os demais requisitos dimensionais seguem o critério abaixo:
I. Comprimento será de vinte módulos (20 M);
II. A distância dos vértices do losango amarelo ao quadro externo será de um módulo e sete décimos (1,7 M);
III. O raio do círculo azul no meio do losango amarelo será de três módulos e meio (3,5 M).”
BRASIL, Lei n. 5.700, de 1° de setembro de 1971. Disponível em: www.planalto.gov.br. Acesso em: 15 set. 2015.
A figura indica as cores da bandeira do Brasil e localiza o quadro externo a que se refere a Lei n. 5.700.
Um torcedor, preparando-se para a Copa do Mundo e dispondo de cortes de tecidos verde (180 cm x 150 cm) e amarelo (o quanto baste), deseja confeccionar a maior Bandeira Nacional possível a partir das medidas do tecido verde.
Qual a medida, em centímetro, do lado do menor quadrado de tecido azul que deverá ser comprado para confecção do círculo da bandeira desejada?
A) 27
B) 32
C) 53
D) 63
E) 90
Resolução em Texto
Matérias Necessárias para a Solução
- Geometria Plana: Proporções, cálculos de áreas e circunferências.
- Escala e Proporção: Definição de módulo e uso para determinar dimensões.
Nível da Questão
Médio
Gabarito
Alternativa D: 63.
Resolução Passo a Passo
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
A questão pede que calculemos o lado do menor quadrado azul necessário para comportar o círculo central da bandeira, respeitando as proporções legais estabelecidas para a bandeira nacional. O tecido verde disponível tem dimensões 180 cm×150 cm.
O ponto central da análise é compreender qual dimensão do tecido verde será utilizada como base para calcular o módulo M, visto que ele define as proporções da bandeira e, consequentemente, o lado do quadrado azul.
Objetivo: Determinar o lado do quadrado azul que comporta o círculo de raio 3,5M, justificando por que a largura de 150 cm não é utilizada como base para calcular M, e por que a largura de 180cm deve ser usada.
Passo 2: Tradução e Interpretação do Texto
Dados fornecidos:
–> Tecido verde: 180 cm×150 cm
- Proporções da bandeira:
- Comprimento: 20M
- Largura: 14M
- Raio do círculo azul: 3,5M
- O lado do quadrado azul deve ser igual ao diâmetro do círculo azul.
Conflito entre dimensões:
–> O módulo M é calculado com base nas dimensões do tecido verde.
–> Caso a largura de 150 cm fosse usada, o módulo seria:
–> No entanto, o comprimento da bandeira é 20M, o que resultaria em um comprimento de:
Isso excede o comprimento do tecido disponível (180 cm), tornando inviável o uso dessa largura.
Passo 3: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
Proporções da bandeira:
- A largura da bandeira é 14M, e o comprimento é 20M.
- O valor de M deve ser calculado de forma que ambas as dimensões da bandeira (largura e comprimento) sejam compatíveis com o tecido disponível.
Cálculo do módulo:
- O módulo é sempre calculado com base na dimensão mais restritiva do tecido, para garantir que as proporções completas da bandeira sejam respeitadas.
Relação entre raio, diâmetro e lado do quadrado azul:
- O raio do círculo azul é 3,5M.
- O diâmetro do círculo azul é: D=2×R=7M
–> O lado do quadrado azul é igual ao diâmetro do círculo.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Escolha da largura 180cm:
Para que o tecido seja suficiente para a bandeira completa, a largura de 180 cm180 \, \text{cm}180cm deve ser usada no cálculo do módulo M:
Raio do círculo azul (R):
- O raio do círculo é: R=3,5M=3,5×9=31,5 cm.
Diâmetro do círculo azul (D):
- O diâmetro é: D=2×R=2×31,5=63 cm.
Lado do quadrado azul:
- O lado do quadrado azul é igual ao diâmetro do círculo: Lado do quadrado=D=63 cm.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
Alternativa A: 27 cm
- Muito inferior ao diâmetro do círculo D=63 cm
Alternativa B: 32 cm
- Também inferior ao diâmetro necessário.
Alternativa C: 53 cm
- Menor que o diâmetro do círculo.
Alternativa D: 63 cm
- Exatamente igual ao diâmetro do círculo, o que torna essa a alternativa correta.
Alternativa E: 90 cm
- Maior que o necessário para comportar o círculo.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
A largura de 180 cm deve ser usada para calcular o módulo M, pois é a única dimensão que permite que ambas as proporções 14M (largura) e 20M (comprimento) sejam compatíveis com o tecido verde disponível. Com M=9cm, o lado do quadrado azul é 63 cm, correspondendo à alternativa D.
