A fabricação da Bandeira Nacional deve obedecer ao descrito na Lei n. 5.700, de 1º de setembro de 1971, que trata dos Símbolos Nacionais. No artigo que se refere às dimensões da Bandeira, observa-se:
“Para cálculos das dimensões, será tomada por base a largura, dividindo-a em 14 (quatorze) partes iguais, sendo que cada uma das partes será considerada uma medida ou um módulo (M). Os demais requisitos dimensionais seguem o critério abaixo:
I. Comprimento será de vinte módulos (20 M);
II. A distância dos vértices do losango amarelo ao quadro externo será de um módulo e sete décimos (1,7 M);
III. O raio do círculo azul no meio do losango amarelo será de três módulos e meio (3,5 M).”
BRASIL, Lei n. 5.700, de 1° de setembro de 1971. Disponível em: www.planalto.gov.br. Acesso em: 15 set. 2015.
A figura indica as cores da bandeira do Brasil e localiza o quadro externo a que se refere a Lei n. 5.700.
Um torcedor, preparando-se para a Copa do Mundo e dispondo de cortes de tecidos verde (180 cm x 150 cm) e amarelo (o quanto baste), deseja confeccionar a maior Bandeira Nacional possível a partir das medidas do tecido verde.
Qual a medida, em centímetro, do lado do menor quadrado de tecido azul que deverá ser comprado para confecção do círculo da bandeira desejada?
A) 27
B) 32
C) 53
D) 63
E) 90
Resolução Em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática (Razão e Proporção, Interpretação de Texto Normativo)
- Geometria Plana (Círculo, Quadrado)
🎯 Tema/Objetivo Geral
Aplicar as regras de proporção descritas em uma lei para calcular as dimensões de uma Bandeira Nacional a partir de uma medida inicial, determinando o tamanho de um dos seus componentes.
📊 Nível da Questão
Médio.
Por quê? A questão exige uma interpretação cuidadosa de um texto com linguagem formal (“módulos”, “décimos”) e a aplicação de uma série de cálculos proporcionais. O principal desafio está em identificar corretamente qual dimensão do tecido verde será a “largura” da bandeira, pois isso determina o valor do módulo (M) e, consequentemente, todas as outras medidas.
✅ Gabarito
Alternativa D.
Resumo: Para fazer a maior bandeira possível, a largura de 140 cm do tecido verde é utilizada como largura da bandeira, resultando em um módulo de 10 cm. O raio do círculo azul é de 3,5 módulos (35 cm). O menor quadrado de tecido que contém esse círculo terá um lado igual ao seu diâmetro, que é de 70 cm. Porém, ao usar a outra dimensão do tecido (180 cm) como comprimento, a largura proporcional seria de 126 cm. Neste caso, M=9 cm, o raio do círculo seria 31,5 cm, e o diâmetro (lado do quadrado) seria 63 cm. Esta é a maior bandeira possível com o tecido disponível.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Qual a medida, em centímetro, do lado do menor quadrado de tecido azul que deverá ser comprado para confecção do círculo da bandeira desejada?”
O que está sendo pedido?
A questão quer que a gente descubra o tamanho do lado de um quadrado de tecido azul que seja o menor possível para cortar o círculo azul da maior bandeira que podemos fazer com o tecido verde que temos.
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é:
- Descobrir as dimensões da maior bandeira possível usando o tecido verde.
- Calcular o valor da unidade de medida “módulo” (M) para essa bandeira.
- Calcular o raio do círculo azul usando o valor de M.
- Determinar o lado do menor quadrado que pode conter esse círculo.
🧠 O menor quadrado de tecido que pode conter um círculo tem o lado de que tamanho? Seria igual ao raio do círculo? Ao diâmetro? Ao perímetro? Pensar nisso antes de começar evita um erro comum no final!
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Módulo (M): A unidade de medida base para a construção da bandeira. A lei define que a Largura (L) = 14 M.
- Proporções da Bandeira (segundo a lei):
- Comprimento (C) = 20 M
- Raio do círculo azul (r) = 3,5 M
- Relação entre Comprimento e Largura: A partir das definições, podemos estabelecer uma proporção fixa:
- C / L = (20 M) / (14 M) = 20 / 14 = 10 / 7
- C = (10/7) ⋅ L ou L = (7/10) ⋅ C
- Quadrado Mínimo para Conter um Círculo: Para cortar um círculo de um pedaço de tecido quadrado, o menor quadrado possível deve ter um lado igual ao diâmetro do círculo.
- Lado_quadrado = Diâmetro = 2 ⋅ Raio
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Você quer fazer a maior bandeira do Brasil possível com um pano verde de 180 cm por 150 cm. A lei da bandeira é como uma receita de bolo com proporções exatas. A “xícara” de medida da receita é o “módulo” (M).
Temos duas opções para usar nosso pano:
- Opção 1: Usar os 150 cm como a Largura.
- Opção 2: Usar os 180 cm como o Comprimento.
Precisamos testar as duas opções para ver qual delas nos dá a maior bandeira que cabe no pano. Depois de descobrir qual é a maior bandeira possível, calculamos o tamanho do “módulo” (M) dela. Com o valor de M, a receita nos diz o tamanho do raio do círculo azul. Por fim, para comprar o tecido azul, precisamos saber o tamanho do lado do quadrado que vai conter esse círculo, que é simplesmente o seu diâmetro (duas vezes o raio).
Estratégia Geral 🗺️
Vamos testar as duas hipóteses de uso do tecido verde, calcular as dimensões da bandeira em cada caso e ver qual delas é viável e maior. Em seguida, prosseguimos com os cálculos para encontrar o lado do quadrado de tecido azul.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
Teste da Hipótese 1: Usar a Largura máxima do tecido.
- Largura da bandeira (L) = 150 cm
- Cálculo do comprimento proporcional (C):
- C = (10/7) ⋅ L = (10/7) ⋅ 150 ≈ 214,3 cm
- Verificação: O tecido verde tem apenas 180 cm de comprimento. Não é possível fazer uma bandeira de 214,3 cm de comprimento. Hipótese 1 é inviável.
Teste da Hipótese 2: Usar o Comprimento máximo do tecido.
- Comprimento da bandeira (C) = 180 cm
- Cálculo da largura proporcional (L):
- L = (7/10) ⋅ C = (7/10) ⋅ 180 = 7 ⋅ 18 = 126 cm
- Verificação: O tecido verde tem 150 cm de largura, então uma bandeira de 126 cm de largura cabe perfeitamente. Hipótese 2 é viável.
- Esta é a maior bandeira possível de ser confeccionada. Suas dimensões são 180 cm x 126 cm.
Cálculo do Módulo (M) para a bandeira viável
- A largura da bandeira é L = 126 cm.
- Sabemos que L = 14 M.
- 126 = 14 ⋅ M
- M = 126 / 14 = 9 cm
Cálculo do Raio (r) do Círculo Azul
- A lei diz que r = 3,5 M.
- r = 3,5 ⋅ 9
- r = 31,5 cm
Cálculo do Lado do Menor Quadrado de Tecido Azul
- O menor quadrado que pode conter um círculo tem o lado igual ao seu diâmetro.
- Diâmetro (d) = 2 ⋅ r
- d = 2 ⋅ 31,5
- d = 63 cm
Conclusão: O lado do menor quadrado de tecido azul a ser comprado é de 63 cm.
A Armadilha Comum 🚨
A principal armadilha é assumir que as dimensões do tecido verde (180×150) são diretamente as dimensões da bandeira. A lei impõe uma proporção fixa entre largura e comprimento (7:10). O aluno precisa encontrar as maiores dimensões que respeitam essa proporção e que cabem no tecido disponível. Outra armadilha é, no final, responder com o valor do raio (31,5 cm) em vez do diâmetro (63 cm), que corresponde ao lado do quadrado.
Fechamento e Expectativa
O cálculo nos levou a um resultado de 63 cm. Agora, vamos procurar essa resposta nas alternativas.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) 27
🔴 B) 32
🔴 C) 53
🟢 D) 63 Correta. Corresponde exatamente ao valor do diâmetro do círculo azul calculado.
🔴 E) 90
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
Para confeccionar a maior Bandeira Nacional possível com o tecido verde de 180 cm x 150 cm, é necessário respeitar a proporção legal de 7:10 entre largura e comprimento. Testando as possibilidades, a maior bandeira viável teria 180 cm de comprimento e uma largura proporcional de 126 cm. Para esta bandeira, a largura de 126 cm é dividida em 14 módulos, resultando em um módulo (M) de 9 cm. O raio do círculo azul, por lei, é de 3,5 módulos, o que equivale a 31,5 cm (3,5 x 9). O menor quadrado de tecido capaz de conter este círculo deve ter um lado igual ao seu diâmetro, que é duas vezes o raio: 2 x 31,5 = 63 cm.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a D.
Resumo Final para Revisão 🔍
Problemas de proporção com medidas limitadas exigem um teste de viabilidade. Sempre verifique se as dimensões calculadas cabem dentro das dimensões disponíveis do material. E lembre-se: para cortar um círculo de um quadrado, o lado do quadrado deve ser, no mínimo, o diâmetro do círculo.
