Um suporte será instalado no box de um banheiro para serem colocados recipientes de xampu, condicionador e sabonete líquido, sendo que o recipiente de cada produto tem a forma de um cilindro circular reto de medida do raio igual a 3 cm. Para maior conforto no interior do box, a proprietária do apartamento decidiu comprar o suporte que tiver a base de menor área, desde que a base de cada recipiente ficasse inteiramente sobre o suporte. Nas figuras, vemos as bases desses suportes, nas quais todas as medidas indicadas estão em centímetro.
Utilize 3,14 como aproximação para π .
Para atender à sua decisão, qual tipo de suporte a proprietária comprou?
A) I
B) II
C) lII
D) IV
E) v
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana: Cálculo de áreas de figuras (Quadrado, Retângulo, Trapézio e Setor Circular).
- Geometria de Posição: Problemas de empacotamento (encaixar círculos em polígonos).
- Aritmética: Operações com decimais e aproximações.
Tema/Objetivo Geral:
Selecionar o suporte com a menor área superficial possível que consiga acomodar simultaneamente três recipientes cilíndricos de raio igual a 3 cm.
Nível da Questão
Médio. O desafio exige que o aluno não apenas calcule áreas, mas verifique se os três frascos realmente “cabem” fisicamente dentro de cada formato, considerando que um frasco de raio 3 cm ocupa um espaço de 6 cm de diâmetro.
Gabarito
Alternativa E (Suporte V). O suporte V possui uma área de aproximadamente 132,66 cm², que é menor que a do suporte II (144 cm²). Ambos conseguem acomodar os três frascos, mas o critério de desempate da proprietária é a menor área.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é encontrar o suporte mais “econômico” em termos de espaço (menor área) que consiga carregar três frascos de xampu, condicionador e sabonete sem que nenhum pedaço deles fique para fora.
Simplificação Radical: Imagine que você tem 3 pratos redondos de 6 cm de largura cada. Você tem 5 bandejas de formatos diferentes. O desafio é descartar as bandejas onde os pratos não cabem e, entre as que sobrarem, escolher a menor de todas.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Determinar o tamanho real do frasco: Converter o raio em diâmetro (largura total).
- Triagem de Encaixe: Verificar visualmente e matematicamente em quais suportes os 3 frascos cabem.
- Cálculo de Áreas: Calcular a área apenas dos suportes que passaram no teste de encaixe.
- Eleger o Vencedor: Escolher o de menor valor numérico.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para esta perícia geométrica, utilizaremos o Dossiê de Áreas e Dimensões:
- O Frasco: Raio = 3 cm. Logo, o Diâmetro = 6 cm. Cada frasco precisa de um “quadrado imaginário” de 6×6 cm para ser acomodado.
- Área do Trapézio (I): ((Base maior + Base menor) * Altura) / 2.
- Área do Quadrado (II e III): Lado * Lado.
- Área do Retângulo (IV): Base * Altura.
- Área do Setor Circular (V): (pi * Raio * Raio) / 4. (Já que é um quarto de círculo).
- Constante: pi = 3,14.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar a triagem dos suportes para os 3 frascos (cada um com 6 cm de largura):
1. Eliminando os óbvios (III e IV):
- Suporte III: É um quadrado de 6×6. Só cabe um frasco. Descartado.
- Suporte IV: É um retângulo de 9×3. A largura de 3 cm é menor que o diâmetro do frasco (6 cm). Nenhum frasco cabe inteiramente. Descartado.
2. Testando o Suporte I (Trapézio):
- Base de 12 cm, Topo de 6 cm, Altura de 9 cm.
- Caberiam dois frascos na base (6+6=12), mas como a lateral é inclinada, o segundo frasco bateria na rampa antes de entrar totalmente. O terceiro frasco precisaria de mais 6 cm de altura (totalizando 12 cm), mas o suporte só tem 9 cm. Descartado.
3. Avaliando o Suporte II (Quadrado 12×12):
- Aqui cabem até 4 frascos (2 fileiras de 2). Como precisamos de 3, ele atende perfeitamente.
- Área II = 12 * 12 = 144 cm².
4. Avaliando o Suporte V (Quarto de Círculo):
- Com raio de 13 cm, conseguimos colocar um frasco no canto (0,0) e os outros dois encostados nele. O ponto mais distante de 3 frascos em “L” seria aproximadamente 12,7 cm da quina, o que cabe dentro do raio de 13 cm.
- Área V = (3,14 * 13 * 13) / 4
- Área V = (3,14 * 169) / 4 = 530,66 / 4 = 132,665 cm².
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum aqui é o aluno se assustar com a conta do círculo e marcar o Suporte II por ser um número “inteiro” e fácil. Outra armadilha é esquecer que são TRÊS produtos. Se fosse apenas um, o Suporte IV seria o vencedor por ter a menor área (27 cm²). Sempre leia a quantidade de objetos antes de começar os cálculos!
A Bússola (O Perfil do Culpado)
- Síntese do raciocínio: Comparação de áreas entre os suportes que comportam os frascos (II e V).
- Expectativa: O suporte V, por ter área de ~132,7 cm², vence o suporte II de 144 cm².
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) I
- Narrativa do Erro: O aluno calcula a área (81 cm²) e, por ser pequena, assume que dá para “dar um jeitinho” de encaixar os frascos.
- Diagnóstico do Erro: Desconsiderar a restrição física de diâmetro e a inclinação da aresta lateral.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
B) II
- Narrativa do Erro: O aluno percebe que este suporte cabe tudo com folga, mas esquece de calcular o suporte V para comparar quem é menor.
- Diagnóstico do Erro: Reducionismo (Não buscou o valor mínimo absoluto).
- Conclusão: 🟡 PARCIALMENTE CORRETA (Cabe, mas não é a menor área).
C) III
- Narrativa do Erro: O aluno ignora que existem 3 frascos e projeta o suporte para apenas um.
- Diagnóstico do Erro: Interpretação de texto incorreta (Quantidade de frascos).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
D) IV
- Narrativa do Erro: O aluno escolhe o menor número da lista de áreas possíveis sem testar se o diâmetro do frasco passa na largura do suporte.
- Diagnóstico do Erro: Fuga à restrição geométrica básica (3 cm < 6 cm).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
E) V
- Análise: Perfeito. É o suporte que acomoda os 3 frascos e apresenta a menor área superficial (132,66 cm²) entre as opções viáveis.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta final é a Alternativa E. Esta questão é um excelente exemplo de Otimização de Espaço, uma competência fundamental para designers de produtos e arquitetos.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“O quadrado de 12 gasta muito chão; o quarto de círculo é a solução com mais economia na mão!”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este princípio de encaixar círculos em áreas mínimas é usado na Indústria de Embalagens para decidir como as latas de refrigerante serão organizadas dentro de uma caixa de papelão. Economizar 10 cm² por suporte, como vimos aqui, pode parecer pouco, mas em uma escala de produção de 1 milhão de unidades, isso representa uma economia colossal de material e redução de lixo ambiental, aplicando os conceitos de Logística Verde.
