Questão 160, caderno azul ENEM 2016

Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 3 000℃ e diminui 1% de sua temperatura a cada 30 min.

Use 0,477 como aproximação para log₁₀3 e 1,041 como aproximação para log₁₀11.

O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30℃ é mais próximo de

A) 22

B) 50

C) 100

D) 200

E) 400

Resolução em Texto

📚 Matérias Necessárias para a Solução

Funções Exponenciais
Decaimento Exponencial
Logaritmos e suas propriedades
Isolamento de variáveis em equações logarítmicas

🔢 Nível da Questão

🔹 Difícil – exige compreensão profunda de logaritmos e crescimento/decaimento exponencial.

✅ Gabarito

Alternativa D (200 horas)

📝 Resolução Passo a Passo

🔍 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

A questão informa que uma liga metálica sai do forno a 3.000°C e perde 1% da sua temperatura a cada 30 minutos.

📌 Informações importantes:
✔ Temperatura inicial: 3.000°C
✔ Taxa de redução: 1% a cada 30 minutos
✔ Temperatura final desejada: 30°C
✔ Precisamos determinar o tempo necessário para atingir essa temperatura

✅ Objetivo: Encontrar o tempo t, em horas, para que a temperatura chegue a 30°C.

📖 Passo 2: Tradução e Interpretação Textual

O enunciado diz que a temperatura diminui 1% a cada 30 minutos.

Isso significa que a cada meia hora a temperatura restante é multiplicada por 99% (ou seja, 99/100 da anterior).

🔹 Isso caracteriza um decaimento exponencial, que segue a fórmula:

T(t)=T0⋅r^t

Onde:

T(t) = temperatura no tempo t
T0 = temperatura inicial (3.000°C)
r= taxa de decaimento por hora (ainda vamos calcular)
t = tempo em horas

✏ Passo 3: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários

1️⃣ Definição da Função Exponencial

Sabemos que a temperatura diminui 1% a cada 30 minutos. Isso significa que, a cada meia hora:

T novo=T anterior×99/100

Mas queremos a fórmula em função de t (tempo em horas), e cada hora contém 2 períodos de 30 minutos.

Logo, a taxa de decaimento por hora será:

(99/100)^2

Assim, a equação geral do problema fica:

T(t)=3000×(99/100)^2t

✅ Passo 4: Desenvolvimento de Raciocínio

Queremos saber quando a temperatura será 30°C, ou seja:

30=3000×(99/100)^2t

📌 Passo 1: Isolamos a potência exponencial

Dividimos ambos os lados por 3000:

30/3000=(99/100)^2t
1/100=(99/100)^2t

📌 Passo 2: Aplicamos logaritmo nos dois lados

Tomamos logaritmo de ambos os lados para tirar a incógnita do expoente:

log(1/100)=log((99/100)^2t)

📌 Passo 3: Aplicamos a propriedade do logaritmo

Usamos a propriedade:

log a^b=b ⋅ log^a

Então:

log(1/100)= 2t ⋅ log (99/100)

📌 Passo 4: Substituímos valores conhecidos

O enunciado fornece aproximações:
✔ log⁡3=0,477
✔ log⁡11=1,041

Sabemos que:

log(1/100)= -2

Agora precisamos calcular log⁡(99/100):

log(99/100)= log(9) +log(11) −log(100)
=2⋅log(3) + log(11)−2

Substituímos os valores:

=2(0,477) + 1,041−2
=0,954 + 1,041−2
=−0,005

📌 Passo 5: Isolamos t

Temos:

−2= 2t × (−0,005)

Resolvendo –>

t=−1/−0,005
t=200

✅ Tempo necessário: 200 horas

✨ Passo 5: Análise das Alternativas

Agora, verificamos cada alternativa:

🔹 (A) 22 ❌ (errada)
👉 Muito menor do que o tempo necessário.

🔹 (B) 50 ❌ (errada)
👉 Tempo subestimado.

🔹 (C) 100 ❌ (errada)
👉 Ainda abaixo do necessário.

🔹 (D) 200 ✅ (correta)
👉 Exatamente o valor obtido nos cálculos.

🔹 (E) 400 ❌ (errada)
👉 Muito acima do tempo correto.

🎯Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

📌 A questão exigia calcular o tempo necessário para que a liga metálica atingisse 30°C, considerando uma perda de 1% da temperatura a cada 30 minutos.

📌 Utilizamos uma função exponencial para modelar o decaimento da temperatura e aplicamos logaritmos para resolver a equação exponencial.

📌 O resultado final foi t=200 horas, confirmando que a alternativa correta é (D).