Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir.
Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m², e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m².
De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral?
A) R$ 22,50
B) R$ 35,00
C) R$ 40,00
D) R$ 42,50
E) R$ 45,00
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Geometria Plana (área de quadrado e triângulo), Proporcionalidade, Interpretação de figuras geométricas compostas
🎯 Tema/Objetivo Geral:
Cálculo de área total de figuras planas compostas com aplicação prática de custo por metro quadrado
🎯 Nível da Questão:
Médio.
Embora o cálculo envolva áreas básicas (triângulo e quadrado), o nível de atenção e a organização para separar áreas claras e sombreadas e atribuir corretamente os custos exige raciocínio geométrico visual e interpretação de composição.
✅ Gabarito:
Alternativa B.
É o valor total obtido pela soma do custo da parte clara (0,25 m² × R$ 50,00) e da parte sombreada (0,75 m² × R$ 30,00), resultando em R$ 35,00.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial 📌
“De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral?”
1.2 O que está sendo pedido?📌
Calcular o custo total dos materiais utilizados, separando parte clara e parte sombreada, e aplicando o valor por metro quadrado correspondente a cada uma.
1.3 Objetivo Cristalino 📌
Determinar a área clara e a área sombreada, calcular o custo de cada uma e somar para obter o valor total de um vitral.
1.4 Pergunta de Atenção ✔
Você sabe como separar corretamente as áreas compostas dentro de um quadrado usando simetria e pontos médios?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas 📌
- Área do quadrado = lado × lado
Se lado = 1 m, então área = 1 m² - Área de triângulo = (base × altura) / 2
- Preço por m²:
- Parte sombreada: R$ 30,00/m²
- Parte clara: R$ 50,00/m²
📌 Importante: A figura mostra um losango branco (parte clara) inscrito em um quadrado de 1 m², formado ao ligar pontos médios dos lados. O restante da área é sombreado.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada 📌
Temos um quadrado de lado 1 m (área = 1 m²). Dentro dele há uma figura branca (losango) formada por pontos médios e segmentos de 1/4 da medida do lado. Essa parte branca será feita com material de R$ 50,00/m², e o restante, sombreado, com material de R$ 30,00/m². Precisamos calcular a área de cada parte e o custo correspondente.
3.2 Estratégia Geral 📌
- Calcular a área total: 1 m²
- Determinar a área da parte clara (losango central branco)
- Subtrair para obter a área sombreada
- Multiplicar cada uma pelo seu custo por metro quadrado
- Somar os custos
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado 📌
O quadrado ABCD tem lado = 1 m.
Os pontos A, B, C, D são pontos médios dos lados.
Os segmentos AP e QC medem 1/4 do lado do quadrado → 1/4 de 1 m = 0,25 m.
A figura branca central (losango) pode ser dividida em dois triângulos congruentes.
Vamos calcular a área da parte clara:
A base do triângulo PQ é 0,5 m (de A a C ou de B a D).
A altura (de P até o meio da base) também é 0,5 m.
Área de um triângulo da parte clara:
Área = 0,5 * 0,5 / 2 = 0,125 m²
Como são dois triângulos, a área clara total é:
0,125 + 0,125 = 0,25 m²
Área sombreada = 1 m² – 0,25 m² = 0,75 m²
Custo da parte clara:
0,25 m² × R$ 50,00 = R$ 12,50
Custo da parte sombreada:
0,75 m² × R$ 30,00 = R$ 22,50
Custo total do vitral:
R$ 12,50 + R$ 22,50 = R$ 35,00
4.2 Verificação Intermediária 📌
As áreas somam 1 m²?
0,25 + 0,75 = 1 m² ✅
Os preços foram aplicados corretamente? ✅
4.3 Possível armadilha ❓/ ✔
Você pode ter tentado calcular a área do losango usando diagonais — mas isso pode ser confuso aqui. A estratégia de dividir o losango em dois triângulos é mais visual, mais segura e baseada nas medidas fornecidas.
4.4 Fechamento e expectativa 📌
Agora que temos a área clara (0,25 m²) e a sombreada (0,75 m²), basta aplicar os preços por metro quadrado. Já vimos que a soma total dá R$ 35,00 — vamos confirmar com as alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas 📌
A) R$ 22,50
B) R$ 35,00
C) R$ 40,00
D) R$ 42,50
E) R$ 45,00
5.2 Justificativa Individual 📌
- A (🔴): Apenas o custo da parte sombreada (0,75 m² × R$ 30) — ignora a parte clara.
- B (🟢): Corretamente soma os custos:
- Parte clara: R$ 12,50
- Parte sombreada: R$ 22,50
- Total: R$ 35,00
- C (🔴): Valor acima do real, provavelmente considera área incorreta.
- D (🔴): Superestima o custo, erro na interpretação da composição da figura.
- E (🔴): Muito acima do correto, indica erro total na separação das áreas.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio 📌
Determinamos as áreas clara e sombreada por decomposição da figura em triângulos simples, aplicamos os preços por metro quadrado e somamos os custos.
6.2 Gabarito Reafirmado 📌
A alternativa correta é B (R$ 35,00).
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
📌 Quando lidar com áreas compostas por figuras simétricas, divida em partes menores (triângulos, retângulos) para facilitar os cálculos e aplicar corretamente os dados do enunciado!
