Jorge quer instalar aquecedores no seu salão de beleza para melhorar o conforto dos seus clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de aquecedores: modelo A, que consome 600 g/h (gramas por hora) de gás propano e cobre 35 m2 de área, ou modelo B, que consome 750 g/h de gás propano e cobre 45 m2 de área. O fabricante indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do que a da sua cobertura. Jorge vai instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo possível com gás. A área do salão que deve ser climatizada encontra-se na planta seguinte (ambientes representados por três retângulos e um trapézio).
Avaliando-se todas as informações, serão necessários
A) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do tipo B.
B) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B.
C) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B.
D) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B.
E) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do tipo B.
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana (Cálculo de Área de Retângulos e Trapézios)
- Interpretação de Texto
- Raciocínio Lógico e Otimização
🎯 Tema/Objetivo Geral: Aplicação de cálculo de áreas para a resolução de um problema prático de otimização de recursos, considerando múltiplos critérios (cobertura de área, consumo e recomendações técnicas).
🎯 Nível da Questão: Médio – A questão é considerada de nível médio pois exige várias etapas de raciocínio: 1) decompor a planta baixa e deduzir as dimensões de cada sub-região a partir dos dados gerais; 2) calcular corretamente a área de cada uma (incluindo a de um trapézio); e 3) aplicar uma lógica de otimização com uma condição restritiva (a recomendação do fabricante), que é o ponto crucial para a decisão final.
✅ Gabarito: C) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B. A alternativa está correta. Após calcular as áreas dos quatro ambientes (I=40m², II=30m², III=24m², IV=35m²), a análise mostra que o modelo A é ideal para os ambientes II e III. O modelo B é obrigatório para o ambiente I (por área insuficiente do A) e para o ambiente IV (pela recomendação do fabricante para áreas no limite da capacidade).
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Jorge vai instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo possível com gás. […] Avaliando-se todas as informações, serão necessários”
O que está sendo pedido?📌
A questão nos pede para determinar a quantidade exata de aquecedores do modelo A e do modelo B que Jorge deve comprar para climatizar os quatro ambientes de seu salão, seguindo três regras importantes:
- Um aquecedor por ambiente.
- Priorizar o aquecedor de menor consumo de gás (Modelo A).
- Seguir a recomendação do fabricante de que a área do ambiente seja menor que a capacidade do aquecedor.
Objetivo Cristalino 📌
Nosso objetivo é: 1) Calcular a área de cada um dos quatro ambientes (I, II, III e IV). 2) Para cada ambiente, decidir qual modelo de aquecedor (A ou B) é a escolha correta, aplicando os critérios de cobertura, economia e a regra do fabricante. 3) Somar as quantidades de cada modelo para encontrar a resposta final.
Pergunta de Atenção ✔
Você reparou na recomendação do fabricante? Ela diz que o aquecedor deve ser usado em uma área menor que sua capacidade máxima. O que isso significa para um ambiente que tem exatamente a mesma área que a capacidade do aquecedor mais econômico? Essa é a “pegadinha” da questão!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
Explicação de termos📌
Para resolver este problema, precisamos das fórmulas de área e de um roteiro lógico de decisão.
- Modelos de Aquecedor (Nossos Dados):
- Modelo A: Consome 600 g/h (mais econômico) | Cobre áreas de até 35 m².
- Modelo B: Consome 750 g/h (gasta mais) | Cobre áreas de até 45 m².
- Critérios de Decisão (em ordem de prioridade):
- Cobertura Mínima: O modelo escolhido precisa ter uma capacidade maior ou igual à área do ambiente.
- Recomendação do Fabricante: A área do ambiente deve ser estritamente menor que a capacidade do aquecedor.
- Economia de Gás: Se mais de um modelo atender aos critérios acima, escolher o que consome menos (Modelo A).
- Fórmulas de Área:
- Área de Retângulo: A = base × altura
- Área de Trapézio: A = [(Base maior + Base menor) × altura] / 2
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 📌
Jorge precisa climatizar 4 salas de seu salão. Ele tem duas opções de aquecedor: o “Econômico” (Modelo A, para salas de até 35 m²) e o “Potente” (Modelo B, para salas de até 45 m²). Como ele quer economizar, a regra inicial é: sempre que der, use o Modelo A. No entanto, o manual do produto tem uma observação importante: “não instale o aquecedor em uma sala com a área exatamente no limite da capacidade”. Nossa missão é sermos os engenheiros de Jorge: vamos medir cada sala, aplicar as regras e dizer a ele exatamente quantos aquecedores de cada modelo ele deve comprar.
Estratégia Geral 📌
- Deduzir, a partir da planta, as dimensões que faltam para cada ambiente.
- Calcular a área de cada um dos quatro ambientes.
- Para cada ambiente, aplicar a lógica de decisão para escolher o aquecedor correto.
- Contar o número total de modelos A e B para chegar à resposta final.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Passo a Passo Detalhado 📌
1. Cálculo das Áreas:
- Ambiente I (Retângulo):
- Dimensões: base = 5 m, altura = 8 m.
- Área(I) = 5 m × 8 m = 40 m².
- Ambiente II (Retângulo):
- Base = 5 m (mesma do ambiente I).
- Altura = 14 m (altura total esquerda) – 8 m (altura do ambiente I) = 6 m.
- Área(II) = 5 m × 6 m = 30 m².
- Ambiente III (Retângulo):
- Altura = 6 m (mesma do ambiente II).
- Base = 9 m (largura total superior) – 5 m (base do ambiente II) = 4 m.
- Área(III) = 4 m × 6 m = 24 m².
- Ambiente IV (Trapézio):
- Observe que a figura está “deitada”. A altura do trapézio é a dimensão horizontal de 7 m. As bases são as dimensões verticais.
- Altura (h) = 7 m.
- Base menor (b) = 4 m.
- Base maior (B) = 6 m (a mesma altura dos ambientes II e III).
- Área(IV) = [(Base maior + Base menor) × altura] / 2
- Área(IV) = [(6 m + 4 m) × 7 m] / 2 = (10 m × 7 m) / 2 = 70 m² / 2 = 35 m².
Verificação Intermediária 📌
As áreas dos quatro ambientes são: I = 40 m², II = 30 m², III = 24 m² e IV = 35 m².
2. Escolha do Aquecedor para cada Ambiente:
- Ambiente I (40 m²): A área é maior que a capacidade do Modelo A (35 m²). Logo, o Modelo A é insuficiente. É obrigatório usar o Modelo B (cobre até 45 m²).
- Ambiente II (30 m²): A área de 30 m² é menor que 35 m². O Modelo A atende perfeitamente e é o mais econômico. Escolha: Modelo A.
- Ambiente III (24 m²): A área de 24 m² é menor que 35 m². O Modelo A atende perfeitamente e é o mais econômico. Escolha: Modelo A.
- Ambiente IV (35 m²): A área é exatamente igual à capacidade máxima do Modelo A. De acordo com a recomendação do fabricante (“área menor do que a da sua cobertura”), o Modelo A não é apropriado. Portanto, é necessário usar o modelo superior, o Modelo B.
3. Contagem Final:
- Modelos A necessários: 2 (para os ambientes II e III).
- Modelos B necessários: 2 (para os ambientes I e IV).
- Total = 2 unidades do tipo A e 2 unidades do tipo B.
Possível armadilha ❓/ ✔
A principal armadilha da questão é a interpretação do ambiente IV. Um leitor desatento poderia ver “35 m²” e “Modelo A cobre até 35 m²” e escolher o Modelo A para economizar, ignorando a frase-chave sobre a recomendação do fabricante. Essa leitura cuidadosa é o que diferencia a resposta correta da incorreta.
Fechamento e expectativa
Nosso cálculo detalhado e a aplicação rigorosa de todos os critérios nos levaram à necessidade de 2 aquecedores do tipo A e 2 do tipo B.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
Listagem das Alternativas
A) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do tipo B.
B) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B.
C) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B.
D) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B.
E) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do tipo B.
Justificativa Individual
- 🔴 A) quatro unidades do tipo A…: Incorreta. O modelo A não tem capacidade para cobrir o ambiente I (40 m²).
- 🔴 B) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B: Incorreta. Esta seria a resposta se a recomendação do fabricante para o ambiente IV fosse ignorada.
- 🟢 C) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B: Correta. Corresponde à escolha do modelo A para os ambientes II e III, e do modelo B para os ambientes I (por falta de capacidade do A) e IV (pela recomendação do fabricante).
- 🔴 D) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B: Incorreta. Isso implicaria em usar o modelo B, mais caro, em um dos ambientes (II ou III) onde o modelo A seria suficiente, violando o critério de economia.
- 🔴 E) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do tipo B: Incorreta. Ignora completamente o objetivo de “gastar o mínimo possível com gás”.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📌
Após o cálculo das áreas de cada um dos quatro ambientes (I=40m², II=30m², III=24m², IV=35m²), a escolha dos aquecedores foi feita seguindo os critérios de cobertura, economia e recomendação do fabricante. Os ambientes II e III receberam o modelo A. O ambiente I necessitou do modelo B por sua área ser maior que 35m². O ambiente IV, com exatos 35m², também necessitou do modelo B para seguir a recomendação técnica. A contagem final é de 2 modelos A e 2 modelos B.
Gabarito Reafirmado 📌
A alternativa correta é a C) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B.
Resumo Final para Revisão 🔍
Para fixar: Em problemas de otimização, preste muita atenção às condições restritivas. A recomendação do fabricante foi a “pegadinha” que definiu a escolha correta para um dos ambientes e, consequentemente, para o problema inteiro.
