Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, como mostrado na figura.
O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de 2 400 cm³?
A) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de altura.
B) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de altura.
C) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura.
D) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar.
E) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar.
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial (Volume de Paralelepípedo)
- Princípio de Arquimedes (Volume Deslocado)
🎯 Tema/Objetivo Geral: Cálculo da variação do nível de um líquido em um recipiente a partir da imersão de um objeto de volume conhecido.
🎯 Nível da Questão: Fácil – A questão é considerada fácil porque envolve a aplicação direta da fórmula do volume de um paralelepípedo de forma inversa. O conceito de que o volume do objeto imerso é igual ao volume de líquido deslocado é fundamental e a resolução exige apenas uma multiplicação e uma divisão.
✅ Gabarito: C) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura. A alternativa está correta pois o volume do objeto (2400 cm³) se distribui pela área da base do tanque (1200 cm²), resultando em uma elevação de 2 cm. Somando à altura inicial de 20 cm, a altura final é de 22 cm.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de 2 400 cm³?”
O que está sendo pedido?📌
A questão nos pede para calcular duas coisas:
- Quanto o nível da água vai subir (a variação da altura).
- Qual será a nova altura final da água no tanque.
Objetivo Cristalino 📌
Nosso objetivo é determinar a elevação do nível da água causada pela imersão de um objeto, usando o volume do objeto e as dimensões da base do tanque.
Pergunta de Atenção ✔
Você já entrou em uma banheira cheia e viu a água subir? O volume do seu corpo que entrou na água é igual ao volume de água que subiu. Mas essa água que subiu teve que se “espalhar” por toda a superfície da banheira. Essa ideia de “espalhar” o volume pela área é a chave para resolver a questão!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
Explicação de termos📌
Para resolver este problema, precisamos de dois conceitos básicos:
- Princípio do Volume Deslocado (uma consequência do Princípio de Arquimedes):
- Explicação: Quando um objeto é totalmente submerso em um líquido, ele desloca um volume de líquido exatamente igual ao seu próprio volume.
- No Problema: O objeto tem um volume de 2.400 cm³. Portanto, ao ser colocado no tanque, ele irá deslocar 2.400 cm³ de água. Este volume de água deslocado é o que causa a elevação do nível.
- Volume de um Paralelepípedo Retângulo:
- Explicação: O volume de uma “caixa” (como o tanque ou a camada de água que sobe) é calculado multiplicando-se suas três dimensões: comprimento, largura e altura.
- Fórmula: Volume = Comprimento × Largura × Altura
- Variação Útil: Podemos agrupar comprimento e largura como a Área da Base. Então:
Volume = Área da Base × Altura - A Chave do Cálculo: Como queremos descobrir a altura (quanto o nível subiu), podemos rearranjar a fórmula:
Altura = Volume / Área da Base
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 📌
Imagine que temos um aquário retangular com água até uma certa altura. Em seguida, jogamos uma pedra de 2.400 cm³ dentro dele. Essa pedra vai “empurrar” 2.400 cm³ de água para cima. Essa água extra tem que se acomodar no aquário, formando uma nova “camada” de água por cima da original. A nossa tarefa é descobrir a espessura (altura) dessa nova camada de água.
Estratégia Geral 📌
Nossa estratégia será um cálculo em três passos:
- Calcular a Altura Inicial da Água: Apenas para contextualizar o problema.
- Calcular a Área da Base do Tanque: Multiplicar o comprimento pela largura.
- Calcular a Elevação do Nível (Δh): Usar a fórmula Altura = Volume / Área da Base, onde o “Volume” é o volume do objeto (2.400 cm³) e a “Altura” é a elevação do nível da água.
- Calcular a Altura Final: Somar a altura inicial com a elevação calculada.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Passo a Passo Detalhado 📌
1. Determinar a Altura Inicial da Água (h_inicial):
- A altura total do tanque é 25 cm.
- A imagem mostra que a distância da superfície da água até a borda do tanque é de 5 cm.
- Portanto, a altura inicial da água é:
h_inicial = Altura Total – Distância da Borda
h_inicial = 25 cm – 5 cm = 20 cm
2. Calcular a Área da Base do Tanque (A_base):
- Comprimento = 40 cm
- Largura = 30 cm
- A_base = Comprimento × Largura
- A_base = 40 cm × 30 cm
- A_base = 1200 cm²
3. Calcular a Elevação do Nível da Água (quanto subiu):
- O volume de água que sobe (V_deslocado) é igual ao volume do objeto.
V_deslocado = 2.400 cm³ - Essa elevação de volume acontece sobre a área da base do tanque. Usamos a fórmula rearranjada:
Elevação (Δh) = V_deslocado / A_base
Elevação (Δh) = 2.400 cm³ / 1200 cm²
Elevação (Δh) = 2 cm - Isso significa que o nível da água subiu 2 cm.
Verificação Intermediária 📌
Até aqui, descobrimos que a água, que estava a 20 cm de altura, subiu mais 2 cm.
4. Calcular a Altura Final da Água (h_final):
- h_final = h_inicial + Elevação (Δh)
- h_final = 20 cm + 2 cm
- h_final = 22 cm
Verificando se a água transborda:
- A altura total do tanque é de 25 cm.
- A altura final da água (22 cm) é menor que a altura do tanque (25 cm).
- Portanto, a água não transborda.
Possível armadilha ❓/ ✔
A principal armadilha seria confundir as unidades ou usar as dimensões erradas. Por exemplo, se você dividisse o volume pela largura (2400 / 30 = 80) ou pelo comprimento (2400 / 40 = 60), encontraria resultados sem sentido físico. É crucial entender que o volume deslocado se distribui pela área da base, não por apenas uma de suas dimensões.
Fechamento e expectativa
Nosso cálculo nos levou a uma subida de 2 cm, resultando em uma altura final de 22 cm. Vamos agora procurar a alternativa que descreve essa situação.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
Listagem das Alternativas
A) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de altura.
B) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de altura.
C) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura.
D) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar.
E) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar.
Justificativa Individual
- 🔴 A) O nível subiria 0,2 cm…: Incorreta. Provavelmente resultado de um erro decimal no cálculo.
- 🔴 B) O nível subiria 1 cm…: Incorreta. A elevação calculada foi de 2 cm.
- 🟢 C) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura: Correta. Corresponde exatamente aos nossos dois resultados: a elevação de 2 cm e a altura final de 22 cm (20 + 2).
- 🔴 D) O nível subiria 8 cm…: Incorreta. Uma elevação de 8 cm resultaria em uma altura final de 28 cm, o que transbordaria. No entanto, o cálculo da elevação está incorreto.
- 🔴 E) O nível subiria 20 cm…: Incorreta. O cálculo da elevação está incorreto.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📌
Ao submergir um objeto de 2.400 cm³, um volume igual de água é deslocado. Esse volume, ao se espalhar pela área da base do tanque (40 cm × 30 cm = 1.200 cm²), causa uma elevação na altura do nível da água de 2 cm (2.400 cm³ / 1.200 cm²). Como a altura inicial era de 20 cm, a nova altura final é de 22 cm.
Gabarito Reafirmado 📌
A alternativa correta é a C) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura.
Resumo Final para Revisão 🔍
Para fixar: Elevação da Altura = Volume do Objeto / Área da Base do Recipiente. Esta é a regra fundamental para problemas de deslocamento de líquidos em recipientes prismáticos.
