Um robô, que tem um ímã em sua base, se desloca sobre a superfície externa de um cubo metálico, ao longo de segmentos de reta cujas extremidades são pontos médios de arestas e centros de faces. Ele inicia seu deslocamento no ponto P, centro da face superior do cubo, segue para o centro da próxima face, converte à esquerda e segue para o centro da face seguinte, converte à direita e continua sua movimentação, sempre alternando entre conversões à esquerda e à direita quando alcança o centro de uma face. O robô só termina sua movimentação quando retorna ao ponto P. A figura apresenta os deslocamentos iniciais desse robô.
A projeção ortogonal do trajeto descrito por esse robô sobre o plano da base, após terminada sua movimentalção, visualizada da posição em que se está enxergando esse cubo, é
A)
B)
C)
D)
E)
Resolução em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria Espacial e Projeções Ortogonais.
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: Alternativa A.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
O enunciado descreve o movimento de um robô que se desloca pela superfície de um cubo metálico. O robô inicia o movimento no ponto P (centro da face superior), seguindo um padrão alternado de conversões à esquerda e à direita sempre que atinge o centro de uma nova face.
O objetivo da questão é determinar a projeção ortogonal do trajeto descrito pelo robô sobre o plano da base do cubo, considerando que o robô retorna ao ponto inicial P ao fim de sua movimentação.
✔ Palavras-chave:
- Projeção ortogonal → Somente as projeções no plano da base devem ser analisadas.
- Cubo metálico → O robô percorre as faces externas, então o trajeto se distribui sobre a superfície.
- Alternância de movimentos → A trajetória do robô alterna entre conversões à esquerda e à direita.
✔ Objetivo: Determinar a projeção ortogonal do percurso do robô sobre a base do cubo.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
🔹 1. Projeção Ortogonal
- A projeção ortogonal de um objeto tridimensional em um plano é a sombra que ele projetaria se fosse iluminado de cima.
- Como estamos projetando sobre a base do cubo, apenas os deslocamentos horizontais importam.
🔹 2. Movimento sobre a Superfície do Cubo
- O robô se desloca entre os centros das faces do cubo, alternando conversões entre esquerda e direita.
- Como o robô retorna ao ponto P, a trajetória forma um caminho fechado.
🔹 3. Formato da Projeção Ortogonal
- A projeção ortogonal do trajeto do robô deve ser um polígono que representa as faces percorridas.
- O cubo tem seis faces, mas a trajetória do robô percorre apenas algumas delas.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
A figura mostra que o robô:
- Parte do centro da face superior do cubo (ponto P).
- Se desloca até o centro da face adjacente.
- Faz uma conversão à esquerda.
- Segue para o centro da próxima face e faz uma conversão à direita.
- Alterna esses movimentos até retornar ao ponto inicial P.
A projeção dessa trajetória no plano da base do cubo formará dois quadrados sobrepostos lateralmente, pois o robô percorre metade da superfície do cubo antes de retornar.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
✔ Como a trajetória do robô percorre metade da superfície externa do cubo, a projeção no plano da base resultará em dois quadrados sobrepostos lateralmente.
✔ A análise das opções mostra que a alternativa A representa corretamente essa projeção, pois:
- Apresenta dois quadrados unidos (cada um representando um conjunto de faces percorridas pelo robô).
- Não há sobreposição excessiva (como nas opções erradas).
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
✅ Alternativa Correta: A
- A projeção ortogonal corresponde ao deslocamento lateral do robô, formando dois quadrados conectados.
❌ Alternativa B:
- Mostra sobreposição excessiva, o que não condiz com a trajetória.
❌ Alternativa C:
- Apresenta uma disposição incorreta dos quadrados.
❌ Alternativa D:
- O formato projetado não condiz com o percurso do robô.
❌ Alternativa E:
- Apresenta um número incorreto de quadrados na projeção.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
🔍 Resumo Final:
A questão exige que analisemos a trajetória de um robô na superfície de um cubo e determinemos sua projeção ortogonal sobre a base. Como o robô percorre metade da superfície externa do cubo, sua projeção forma dois quadrados sobrepostos lateralmente. Entre as alternativas apresentadas, a opção A representa corretamente esse formato.
✅ Alternativa correta: A.
