Uma empresa de engenharia projetou uma casa com a forma de um retângulo para um de seus clientes. Esse cliente solicitou a inclusão de uma varanda em forma de L. A figura apresenta a planta baixa desenhada pela empresa, já com a varanda incluída, cujas medidas, indicadas em centímetro, representam os valores das dimensões da varanda na escala de 1 : 50.
A medida real da área da varanda, em metro quadrado, é
A) 33,40
B) 66,80
C) 89,24
D) 133,60
E) 534,40
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática Básica (Geometria Plana – Áreas de Figuras Compostas), Razão e Proporção (Escalas) e Conversão de Unidades.
Tema/Objetivo Geral
Interpretação de Plantas e Escalas. O objetivo é transpor uma medida de área de um desenho técnico (miniatura) para a realidade, aplicando corretamente o fator de escala.
Nível da Questão: Médio
- A questão exige três competências simultâneas: decompor uma figura complexa (o “L”), calcular áreas e aplicar conversão de escala. O erro fatal acontece na confusão entre “escala linear” e “escala de área”.
Gabarito: Alternativa A
- A área real da varanda é de 33,40 m². Isso é obtido calculando a área no desenho (133,6 cm²) e multiplicando pelo quadrado da escala (50² = 2500), resultando em 334.000 cm², que equivalem a 33,40 m².
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A questão apresenta o desenho de uma varanda em formato de “L” com medidas em centímetros. Ela quer saber qual é a área desse chão na vida real (em metros quadrados), sabendo que o desenho foi reduzido 50 vezes (Escala 1:50).
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que você tem uma “Lupa Mágica de Aumento x50”. Tudo o que você vê no papel deve ser multiplicado por 50 para virar realidade.
Mas atenção: Se você aumenta o comprimento e a largura, a área aumenta muito mais! É como dar zoom em uma foto: a imagem cresce para os lados e para cima.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Fatiar o Monstro: Dividir a figura em “L” em dois retângulos simples.
- Traduzir as Medidas: Converter as dimensões de cm (papel) para metros (realidade) antes de calcular a área (essa é a estratégia mais segura).
- Calcular a Área Real: Multiplicar base x altura das medidas reais já convertidas.
- Somar: Juntar as partes para ter a área total.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para lidar com escalas, temos dois caminhos. Vamos usar o Método da Conversão Imediata, que evita erros com potências.
FICHA TÉCNICA: A REGRA DE TRÊS DA ESCALA 1:50
- O que significa 1:50?
Significa que 1 cm no desenho equivale a 50 cm na realidade. - Conversão para Metros:
50 cm é igual a 0,5 metros.
Logo: Cada 1 cm no papel vale 0,5 m na vida real.
Estratégia de Decomposição (Dividir para Conquistar):
A varanda é um “L”. Podemos dividi-la em:
- Retângulo 1 (Superior): A parte horizontal de cima.
- Retângulo 2 (Lateral): A parte vertical que sobra à esquerda.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos aplicar nossa ferramenta de conversão (1 cm = 0,5 m) em cada pedaço.
Análise do Retângulo 1 (A barra superior da varanda):
- Medidas no Papel: 16 cm de largura e 5 cm de altura.
- Medidas Reais:
- Largura Real:
16×0,5=8metros. - Altura Real:
5×0,5=2,5metros
- Largura Real:
- Área Real 1:
8×2,5=20m2.
Análise do Retângulo 2 (A barra lateral esquerda):
- Largura no Papel: 4 cm.
- Largura Real:
4×0,5=2metros. - Altura no Papel: Cuidado aqui! A altura total é 18,4 cm, mas já usamos os 5 cm de cima no Retângulo 1.
- Altura restante no papel:
18,4−5=13,4cm.
- Altura restante no papel:
- Altura Real:
13,4×0,5=6,7metros. - Área Real 2:
2×6,7=13,4m2.
Cálculo Final:
Área Total = Área Real 1 + Área Real 2
Área Total = 20+13,40
Área Total = 33,40 m²
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O erro mais comum (“O Descuido da Potência”) acontece quando o aluno calcula a área no papel (133,6 cm²) e multiplica apenas por 50.
- Área Papel:
133,6133 - Conta errada:
133,6×50=6680. (Isso daria 0,66 m² ou 66,8 m² dependendo da confusão de vírgula).
Lembre-se: Escala Linear (x50) é diferente de Escala de Área (x50²). Se você triplica o lado de um quadrado, a área fica nove vezes maior (3232), não três. Por isso, recomendo converter as medidas para metros antes de multiplicar a área, como fizemos acima.
A Bússola (O Perfil do Culpado)
Síntese do raciocínio: Dividimos o L, convertemos cm para metros usando o fator 0,5 e somamos as áreas.
Expectativa: O valor exato de 33,40.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
(A) 33,40.
Análise de Correspondência: Bate perfeitamente com nosso cálculo (20+13,4).
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
(B) 66,80.
Diagnóstico do Erro: Erro de Unidade ou Fator 2.
Este valor é exatamente o dobro da resposta correta. O aluno pode ter esquecido de dividir por 100 ao converter cm para m em alguma etapa, ou calculado (133,6×50) achando que estava convertendo a área diretamente sem elevar ao quadrado, e depois ajustado a vírgula “no chute”.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(C) 89,24.
Diagnóstico do Erro: Cálculo Aleatório.
Não segue a lógica da proporção geométrica da questão.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(D) 133,60.
Diagnóstico do Erro: Confusão Conceitual (O Valor do Papel).
Este número é exatamente a área desenhada no papel em cm² (16×5+13,4×4=133,616). O aluno calculou a área do desenho e esqueceu de aplicar a escala, apenas trocando a unidade de “cm” para “m”.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(E) 534,40.
Diagnóstico do Erro: Multiplicação Linear.
Provavelmente originado de multiplicar a área do papel por um fator incorreto, ignorando a conversão quadrática da escala.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta é a Alternativa A. O segredo está em converter as dimensões lineares antes de calcular a área ou lembrar de elevar a escala ao quadrado.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Escala é como um espelho de aumento: Se aumenta o lado em 50x, a área explode em 2500x (50 ao quadrado). Converta o lado antes para não explodir a conta!”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Esse conceito é vital na Engenharia Civil e Cartografia. Ao olhar o Google Maps, você está vendo uma escala gigantesca (ex: 1:10.000). Se você quiser calcular a área de um parque na tela do celular, um erro de escala transformaria um quarteirão no tamanho de um país!
