Um agricultor é informado sobre um método de proteção para sua lavoura que consiste em inserir larvas específicas, de rápida reprodução. A reprodução dessas larvas faz com que sua população multiplique-se por 10 a cada 3 dias e, para evitar eventuais desequilíbrios, é possível cessar essa reprodução aplicando-se um produto X. O agricultor decide iniciar esse método com 100 larvas e dispõe de 5 litros do produto X, cuja aplicação recomendada é de exatamente 1 litro para cada população de 200 000 larvas. A quantidade total do produto X de que ele dispõe deverá ser aplicada de uma única vez.
Quantos dias após iniciado esse método o agricultor deverá aplicar o produto X?
a) 2
b) 4
c) 6
d) 12
e) 18
Resolução em Vídeo
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática Básica (Aritmética e Regra de Três).
- Sequências (Progressão Geométrica).
- Modelagem de Crescimento Exponencial.
Tema/Objetivo Geral:
Calcular o tempo necessário para que uma população atinja um determinado tamanho, dado um ritmo de crescimento (multiplicação) e um limite máximo imposto pela capacidade de tratamento disponível.
Nível da Questão:
Fácil.
Justificativa: Envolve apenas potências de 10 e tabuada do 3. O aluno só precisa organizar os dados cronologicamente. Não há fórmulas complexas nem armadilhas de interpretação difíceis, apenas a necessidade de calcular a “capacidade total” do produto antes de começar a contar os dias.
Gabarito:
Letra D – 12.
Resolução Passo a Passo
1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
A Missão:
O agricultor tem um estoque de veneno (Produto X). Ele precisa usar tudo de uma vez.
Isso significa que ele tem que esperar a população de larvas crescer até atingir o tamanho exato que os 5 litros conseguem matar.
A pergunta é: Quantos dias vai demorar para a população chegar nesse número?
A Analogia Central (O Tanque de Combustível):
Imagine que as larvas são água enchendo um tanque.
O Produto X é o tamanho do tanque.
- O tanque aguenta “X” larvas.
- A água (larvas) multiplica por 10 a cada 3 dias.
- Quando o tanque encher (atingir a capacidade do veneno), nós paramos o relógio.
Nosso Plano de Ataque:
- Descobrir a Capacidade Total de extermínio dos 5 litros (Quantas larvas?).
- Começar com 100 larvas e multiplicar por 10 sucessivamente.
- Contar quantos ciclos de 3 dias foram necessários para atingir a Capacidade Total.
2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos organizar os dados:
A Capacidade do Produto:
- 1 litro mata 200.000 larvas.
- Temos 5 litros.
- Conta: 5 x 200.000 = 1.000.000 de larvas (1 milhão).
A Regra do Tempo (O Ciclo):
- Início: 100 larvas.
- Regra: Multiplica por 10 a cada 3 dias.
3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos fazer a linha do tempo, ciclo a ciclo.
- Dia 0 (Início):
População = 100 larvas. (Ainda longe de 1 milhão). - Dia 3 (Passou 1 ciclo):
População = 100 x 10 = 1.000 larvas. - Dia 6 (Passaram 2 ciclos):
População = 1.000 x 10 = 10.000 larvas. - Dia 9 (Passaram 3 ciclos):
População = 10.000 x 10 = 100.000 larvas. (Quase lá!). - Dia 12 (Passaram 4 ciclos):
População = 100.000 x 10 = 1.000.000 (1 milhão) de larvas.
Pare!
Atingimos exatamente a capacidade dos 5 litros (calculada no Passo 2).
O agricultor deve aplicar o produto neste momento.
Quantos dias se passaram? 12 dias.
ALERTA DE DETETIVE! 🚨
Cuidado para não confundir o número de ciclos com o número de dias.
Foram 4 multiplicações (4 ciclos).
Como cada ciclo dura 3 dias: 4 x 3 = 12 dias.
Não marque “4” (Letra B) achando que a resposta é o número de vezes que multiplicou!
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Precisamos de 1 milhão de larvas. Começando com 100, precisamos multiplicar por 10 quatro vezes (100 -> 1.000 -> 10.000 -> 100.000 -> 1.000.000). 4 vezes x 3 dias = 12 dias.
- Expectativa: O número 12.
4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
a) 2
- Diagnóstico do Erro: Chute aleatório.
- Análise: Não faz sentido matemático com a progressão dada. 2 dias nem fecha um ciclo de reprodução.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
b) 4
- Diagnóstico do Erro: Confusão Ciclo x Dias.
- Análise: O aluno calculou corretamente que são necessários 4 ciclos de multiplicação. Porém, esqueceu de multiplicar pelos 3 dias que cada ciclo demora. Marcou o número de ciclos em vez do tempo.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
c) 6
- Diagnóstico do Erro: Cálculo incompleto.
- Análise: Em 6 dias (2 ciclos), teríamos apenas 10.000 larvas. Isso gastaria apenas uma fração mínima do veneno (0,05 litros).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
d) 12
- Análise: Perfeito.
- Capacidade: 5 x 200.000 = 1.000.000.
- Crescimento: 100 x 10 x 10 x 10 x 10 = 1.000.000.
- Tempo: 4 ciclos de 3 dias = 12 dias.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
e) 18
- Diagnóstico do Erro: Excesso de ciclos.
- Análise: Em 18 dias (6 ciclos), a população seria de 100 milhões de larvas. Faltaria muito produto para matar tanta larva.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Crescimento exponencial engana. Começa devagar e de repente explode.
Resumo-flash:
“4 zeros para adicionar, 4 ciclos para esperar: 4 vezes 3 dias dá 12 para acabar.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Isso é exatamente como funcionam os Juros Compostos ou o crescimento de bactérias/vírus. Se uma dívida multiplica por 10 a cada mês, você quebra rapidinho. A função exponencial (y=a⋅bx) é a ferramenta mais poderosa para prever o futuro de populações e investimentos.
