Questão 160, caderno azul do ENEM 2023 - DIA 2

Questão 160, caderno azul do ENEM 2023 – DIA 2

Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo
permitido o uso somente dos seguintes caracteres:

algarismos de 0 a 9;
26 letras minúsculas do alfabeto;
26 letras maiúsculas do alfabeto;
6 caracteres especiais !, @, #, $, *, &.

Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário:

tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos;
tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial;
tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao
final, dois caracteres especiais.

Considere p1, p2 e p3 as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente.

Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o

a) tipo I, pois p1 < p2 < p3.

b) tipo I, pois tem menor quantidade de caracteres.

c) tipo II, pois tem maior quantidade de letras.

d) tipo III, pois p3 < p2 < p1.

e) tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres.

Resolução em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão

Matemática: Análise Combinatória, Probabilidade, Princípio Fundamental da Contagem.

Nível da Questão: Difícil

Gabarito: A

1º Passo: Análise do Comando e Definição do Objetivo

Comando da Questão: “Qual tipo de senha apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso na primeira tentativa?”

Objetivo: Determinar, entre os três tipos de senhas apresentadas, qual delas possui a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso.

Dica Geral: A probabilidade de descobrir uma senha é inversamente proporcional ao número de combinações possíveis. Portanto, quanto mais combinações diferentes uma senha pode ter, menor será a probabilidade de descobri-la ao acaso.

2º Passo: Análise das Frases-Chave do Texto

“Formada por caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos.”
“Probabilidade de descobrir a senha ao acaso na primeira tentativa.”
“Tipo I: quatro caracteres distintos.”
“Tipo II: cinco caracteres distintos, começando com três letras, seguidas por um algarismo e um caractere especial.”
“Tipo III: seis caracteres distintos, começando com duas letras, dois algarismos e dois caracteres especiais.”

3º Passo: Explicação dos Conceitos Importantes

Princípio Fundamental da Contagem: Para calcular quantas combinações diferentes de senha podemos ter, utilizamos o Princípio Fundamental da Contagem. Esse princípio estabelece que, se uma tarefa pode ser realizada de n1 maneiras, e outra de n2 maneiras, então a quantidade total de maneiras de realizar ambas
as tarefas são dadas por n1 × n2 .

Probabilidade (P): A probabilidade de um evento ocorrer é dada pela fórmula abaixo, onde N é o número total de combinações possíveis para a senha. Assim, quanto maior o número de combinações (N), menor será a probabilidade de acerto.

4º Passo: Resolução e Análise das Alternativas

Cálculo das Combinações Possíveis

Vamos calcular o número de combinações possíveis para cada tipo de senha usando o Princípio Fundamental da Contagem. Em cada caso, precisamos considerar que os caracteres são distintos.

Tipo I: Senha de Quatro Caracteres Distintos

Caracteres Disponíveis: São 10 algarismos (0-9), 26 letras minúsculas, 26 letras maiúsculas e 6 caracteres especiais. Portanto, o total de caracteres disponíveis é: 10 + 26 + 26 + 6 = 68

Número de Combinações Possíveis:
- O primeiro espaço pode ser preenchido de 68 maneiras.
- O segundo espaço pode ser preenchido de 67 maneiras (pois já utilizamos um caractere).
- O terceiro espaço pode ser preenchido de 66 maneiras.
- O quarto espaço pode ser preenchido de 65 maneiras.

Portanto, o número total de combinações possíveis para o tipo I é:

NI = 68 × 67 × 66 × 65 = 19.545.240 senhas possíveis

Tipo II: Senha de Cinco Caracteres Distintos

Estrutura da Senha: Três letras, um algarismo e um caractere especial.
Número de Combinações:
- O primeiro espaço (letra) pode ser preenchido de 52 maneiras (26 minúsculas + 26 maiúsculas).
- O segundo espaço (letra) pode ser preenchido de 51 maneiras.
- O terceiro espaço (letra) pode ser preenchido de 50 maneiras.
- O quarto espaço (algarismo) pode ser preenchido de 10 maneiras.
- O quinto espaço (caractere especial) pode ser preenchido de 6 maneiras.

Portanto, o número total de combinações possíveis para o tipo II é:

NII = 52 × 51 × 50 × 10 × 6 = 7.956.000 senhas possíveis

Tipo III: Senha de Seis Caracteres Distintos

Estrutura da Senha: Duas letras, dois algarismos e dois caracteres especiais.

Número de Combinações:
- O primeiro espaço (letra) pode ser preenchido de 52 maneiras.
- O segundo espaço (letra) pode ser preenchido de 51 maneiras.
- O terceiro espaço (algarismo) pode ser preenchido de 10 maneiras.
- O quarto espaço (algarismo) pode ser preenchido de 9 maneiras.
- O quinto espaço (caractere especial) pode ser preenchido de 6 maneiras.
- O sexto espaço (caractere especial) pode ser preenchido de 5 maneiras.

Portanto, o número total de combinações possíveis para o tipo III é:

NIII = 52 × 51 × 10 × 9 × 6 × 5 = 7.160.400 senhas possíveis

Analisando as Probabilidades

Como vimos, a probabilidade de se descobrir uma senha é inversamente proporcional ao número de combinações possíveis (P = 1/N). Portanto, quanto maior o número de combinações (N), menor a probabilidade de acerto na primeira tentativa.

Vamos comparar os números de combinações:

Tipo I (NI): 19.545.240 senhas possíveis.
Tipo II (NII ): 7.956.000 senhas possíveis.
Tipo III (NIIII ): 7.160.400 senhas possíveis.

Com base nos números de combinações:

NI > NII > NIII

Assim, a menor probabilidade de se descobrir a senha ao acaso corresponde ao tipo I, pois é o tipo de senha com o maior número de combinações possíveis.

Análise das Alternativas

A) Tipo I, pois p1 < p2 < p3. – Correta. A senha do tipo I, por ter o maior número de combinações possíveis, possui a menor probabilidade de ser descoberta.
B) Tipo I, pois tem menor quantidade de caracteres. – Incorreta, pois a quantidade de caracteres não determina necessariamente a menor probabilidade.
C) Tipo II, pois tem maior quantidade de letras. – Incorreta, pois a quantidade de letras não garante a menor probabilidade de descoberta.
D) Tipo III, pois p3 < p2 < p1. – Incorreta, pois essa relação está incorreta.
E) Tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres. – Incorreta, pois o maior número de caracteres não garante menor probabilidade sem considerar as combinações.

Conclusão: A alternativa correta é a A) Tipo I, pois p1 < p2 < p3.

5º Passo: Conclusão e Justificativa

Conclusão: A alternativa correta é a A), pois o tipo I apresenta o maior número de combinações possíveis, resultando em uma menor probabilidade de ser descoberto ao acaso.

Resumo Final

Para determinar qual senha apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, calculamos o número de combinações possíveis para cada tipo utilizando o Princípio Fundamental da Contagem. O tipo I, com o maior número de combinações possíveis (19.545.240), resulta na menor probabilidade de descoberta. Portanto, a alternativa correta é A.