O dono de um restaurante situado às margens de uma rodovia percebeu que, ao colocar uma placa de propaganda de seu restaurante ao longo da rodovia, as vendas aumentaram. Pesquisou junto aos seus clientes e concluiu que a probabilidade de um motorista perceber uma placa de anúncio é 1/2.
Com isso, após autorização do órgão competente, decidiu instalar novas placas com anúncios de seu restaurante ao longo dessa rodovia, de maneira que a probabilidade de um motorista perceber pelo menos uma das placas instaladas fosse superior a 99/100.
A quantidade mínima de novas placas de propaganda a serem instaladas é
A) 99
B) 51
C) 50
D) 6
E) 1
Resolução em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Probabilidade, Progressão Geométrica, Logaritmos.
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: D.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Comando da questão:
Dado que a probabilidade de um motorista perceber uma placa é 1/2, devemos calcular quantas novas placas devem ser instaladas para que a probabilidade de ele perceber pelo menos uma seja maior que 99/100.
Palavras-chave:
- Probabilidade de perceber uma placa: 1/2
- Probabilidade de perceber pelo menos uma placa
- Probabilidade mínima desejada: 99/100
📌 Objetivo da questão:
Determinar o número mínimo de novas placas para garantir que a chance de um motorista perceber pelo menos uma delas seja superior a 99/100.
⚠️ Dica Geral:
Quando a questão pede a probabilidade de “pelo menos um evento ocorrer”, a abordagem mais prática é calcular a probabilidade complementar, ou seja, a probabilidade de nenhum evento ocorrer e subtrair de 1.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Probabilidade Complementar
A probabilidade de um motorista não ver nenhuma placa pode ser representada como:
✔ P(não ver nenhuma placa) = (1 – P(ver uma placa))ⁿ
✔ Como P(ver uma placa) = 1/2, então:
✔ P(não ver nenhuma placa) = (1/2)ⁿ
📌 Probabilidade de ver pelo menos uma placa
Para calcular a chance de um motorista ver pelo menos uma placa, utilizamos a probabilidade complementar:
✔ P(ver pelo menos uma) = 1 – P(não ver nenhuma placa)
📌 Definição do Problema
Queremos que essa probabilidade seja maior que 99/100, ou seja:
✔ 1 – (1/2)ⁿ ≥ 99/100
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
🔹 A questão informa que já existe uma placa.
🔹 Precisamos determinar quantas novas placas devem ser adicionadas.
🔹 A relação matemática é:
✔ 1 – (1/2)ⁿ ≥ 99/100
Nosso objetivo agora é resolver essa desigualdade para encontrar o número mínimo de placas necessárias.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Passo 1: Resolver a desigualdade
✔ 1 – (1/2)ⁿ ≥ 99/100
✔ (1/2)ⁿ ≤ 1/100
📌 Passo 2: Resolver para n
A desigualdade (1/2)ⁿ ≤ 1/100 significa que precisamos encontrar um n tal que (1/2)ⁿ seja menor ou igual a 1/100.
🔹 Sabemos que:
✔ (1/2)⁷ = 1/128
✔ (1/2)⁶ = 1/64
🔹 Como 1/128 < 1/100, concluímos que n = 7 é o primeiro valor que satisfaz a condição.
📌 Passo 3: Ajuste pelo fato de já existir uma placa
Como já existe uma placa, então precisamos adicionar mais 6 placas para alcançar 7 placas no total.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
✅ Alternativa Correta: D) 6 placas
✔ A quantidade mínima de novas placas necessárias é 6 para garantir que a probabilidade de um motorista perceber pelo menos uma delas seja maior que 99/100.
⚠️ Dica Geral:
Sempre que a questão envolver “pelo menos um evento ocorrer”, use a probabilidade complementar para facilitar os cálculos.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Conclusão:
Para garantir que a probabilidade de um motorista ver pelo menos uma das placas seja maior que 99/100, o número total de placas precisa ser 7. Como já existe 1 placa, precisamos adicionar 6 placas novas.
🔍 Resumo Final:
- Passo 1: Identificamos que a melhor abordagem é usar a probabilidade complementar.
- Passo 2: Montamos a desigualdade 1 – (1/2)ⁿ ≥ 99/100.
- Passo 3: Resolvemos a equação para encontrar n = 7.
- Passo 4: Ajustamos o resultado levando em conta que uma placa já existe, resultando em 6 placas novas.
✅ Alternativa correta: D.
