Questão 158 caderno cinza ENEM 2012 PPL 2° Dia

Uma pizzaria oferece, no cardápio, duas opções de tamanhos e preços:

Pizza média (6 fatias): R$ 24,00
Pizza grande (8 fatias): R$ 32,00

Um grupo de jovens estava prestes a decidir o tipo de pizza com melhor custo-benefício, quando um dos amigos questionou ao garçom a respeito do diâmetro de cada uma das pizzas. A informação obtida foi de que os diâmetros das pizzas média e grande eram, respectivamente, 30 cm e 40 cm. Considerando que os dois tamanhos e preços das pizzas atendem o grupo e que não haverá desperdício, iniciou-se um debate entre eles:

• Alan: A pizza grande tem melhor custo-benefício, pois a área de sua fatia é superior à área da fatia da pizza média.
• Breno: A pizza média tem melhor custo-benefício, pois, como é dividida em menos fatias, cada fatia tem uma maior quantidade de pizza.
• Cleber: As duas apresentam a mesma relação custo-benefício, já que cada fatia custa R$ 4,00, independentemente da escolha do tamanho.
• Davidson: Como a razão entre os diâmetros e os preços das pizzas é a mesma, nenhuma das pizzas tem melhor custo-benefício que a outra.
• Eric: A pizza grande possui melhor relação custo benefício, pois, independentemente do diâmetro, ela é dividida em um número maior de fatias.

Qual jovem apresentou o melhor argumento para a escolha da pizza?

A) Alan.

B) Breno.

C) Cleber.

D) Davidson.

E) Eric.

Matérias Necessárias para a Solução da Questão

Geometria Plana (Área do Círculo)
Razão e Proporção
Interpretação de Problemas e Análise de Argumentos

Tema/Objetivo Geral: Análise de custo-benefício utilizando conceitos geométricos e aritméticos para tomar uma decisão informada.

Nível da Questão: Médio – A questão exige mais do que um cálculo simples. É preciso identificar a métrica correta para “custo-benefício” (que é a área por real, e não o preço por fatia ou a razão de diâmetros) e analisar criticamente vários argumentos, alguns dos quais são falácias matemáticas bem construídas para induzir ao erro.

Gabarito: O Gabarito Oficial de acordo com o INEP é a letra D. Porém está incorreto.
Explicação e Correção: O gabarito oficial indicado como letra D (“Davidson”) está matematicamente incorreto. O argumento de Davidson se baseia em uma falsa equivalência, comparando uma medida linear (diâmetro) com o preço. A quantidade de pizza é uma área (medida bidimensional), que cresce com o quadrado do raio, e não de forma linear. Portanto, a análise dele é uma falácia. A resposta correta, baseada em um cálculo preciso de custo-benefício, é a letra A.

🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

1.1 Transcrição Essencial
“Qual jovem apresentou o melhor argumento para a escolha da pizza?”

1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede que avaliemos cinco argumentos diferentes e determinemos qual deles se baseia na lógica matemática correta para definir o melhor “custo-benefício” na compra de uma pizza.

1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é calcular qual pizza oferece mais “quantidade” (área) por cada real gasto. Depois, vamos comparar nosso resultado com os argumentos de Alan, Breno, Cleber, Davidson e Eric para ver quem está certo.

1.4 Pergunta de Atenção
Você se lembrou que a área de um círculo não cresce na mesma proporção que o seu diâmetro? Dobrar o diâmetro não dobra a área, ele a quadruplica!

📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários

2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver este problema, precisamos de dois conceitos principais:

Área do Círculo: A quantidade de pizza é a sua área. A fórmula para a área de um círculo é:
A = π * r²
Onde:
- A é a Área.
- π (pi) é uma constante matemática (aproximadamente 3,14). Não precisaremos de seu valor numérico, apenas do símbolo.
- r é o raio do círculo.

Relação entre Diâmetro e Raio: O problema nos dá o diâmetro (d), que é a distância de uma borda a outra passando pelo centro. O raio é metade do diâmetro.
r = d / 2

Custo-Benefício: Para encontrar o verdadeiro custo-benefício, devemos calcular quanto de “produto” (neste caso, área em cm²) recebemos por cada unidade de dinheiro (real).
Custo-Benefício = Área Total / Preço Total
Quanto maior for esse valor, melhor o custo-benefício.

📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema

3.1 Contextualização Simplificada
Basicamente, temos um grupo de amigos querendo a pizza que seja o melhor negócio. Não basta olhar o preço da fatia, porque as fatias têm tamanhos diferentes. A gente precisa descobrir qual pizza dá mais “recheio e massa” por cada real pago. Para isso, vamos ter que virar engenheiros de pizza por um momento e calcular a área de cada uma.

3.2 Estratégia Geral
Nosso plano é:

Calcular o raio de cada pizza a partir do diâmetro fornecido.
Calcular a área total de cada pizza usando a fórmula da área do círculo.
Calcular o custo-benefício (cm² por real) de cada pizza.
Com base no melhor custo-benefício, analisar qual dos argumentos dos amigos está correto.

🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos

4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos calcular os dados para cada pizza.

Pizza Média:

Cálculo do Raio:
Diâmetro = 30 cm
Raio (r_media) = 30 / 2 = 15 cm
Cálculo da Área:
Área (A_media) = π * r_media²
Área (A_media) = π * 15²
Área (A_media) = 225π cm²
Cálculo do Custo-Benefício:
Preço = R$ 24,00
Custo-Benefício (CB_media) = Área / Preço
CB_media = 225π / 24
CB_media = 9,375π cm² por real

Pizza Grande:

Cálculo do Raio:
Diâmetro = 40 cm
Raio (r_grande) = 40 / 2 = 20 cm
Cálculo da Área:
Área (A_grande) = π * r_grande²
Área (A_grande) = π * 20²
Área (A_grande) = 400π cm²
Cálculo do Custo-Benefício:
Preço = R$ 32,00
Custo-Benefício (CB_grande) = Área / Preço
CB_grande = 400π / 32
CB_grande = 12,5π cm² por real

4.2 Verificação Intermediária
Comparando os resultados:

Custo-Benefício da Média: 9,375π cm²/R$
Custo-Benefício da Grande: 12,5π cm²/R$

Como 12,5π é maior que 9,375π, a pizza grande oferece mais área por cada real gasto. Portanto, a pizza grande tem o melhor custo-benefício.

4.3 Possível armadilha
Existem duas grandes armadilhas aqui, representadas pelos argumentos de Cleber e Davidson.

Armadilha de Cleber: Achar que o custo-benefício é igual porque o preço por fatia é o mesmo (R24/6=R24/6=R 4 e R32/8=R32/8=R 4). Isso ignora que as fatias têm tamanhos (áreas) diferentes!
Armadilha de Davidson (a do gabarito oficial): Achar que a relação diâmetro/preço é uma medida válida.
- Média: 30 cm / R24=1,25cm/R24=1,25cm/R
- Grande: 40 cm / R32=1,25cm/R32=1,25cm/R
  A razão é a mesma, o que parece indicar um benefício igual. No entanto, isso é uma falácia matemática, pois a “quantidade” de pizza é uma área (2D), que varia com o quadrado do raio, e não uma linha (1D) como o diâmetro.

4.4 Fechamento e expectativa
Nossos cálculos provam que a pizza grande é a melhor escolha. Agora, vamos procurar qual jovem argumentou isso pelo motivo correto.

✅ Passo 5: Análise das Alternativas

5.1 Listagem das Alternativas
A) Alan: Grande é melhor, pois a área da fatia é superior.
B) Breno: Média é melhor, pois cada fatia é maior.
C) Cleber: São iguais, pois o preço por fatia é o mesmo.
D) Davidson: São iguais, pois a razão diâmetro/preço é a mesma.
E) Eric: Grande é melhor, independentemente do diâmetro.

5.2 Justificativa Individual

🟢 A) Alan: Perfeito. Ele defende a pizza grande e seu motivo é a “área da fatia”. Vamos verificar:
- Área fatia Média: 225π / 6 = 37,5π cm².
- Área fatia Grande: 400π / 8 = 50π cm².
  Como a fatia da pizza grande tem mais área e custa os mesmos R$ 4,00 que a fatia da média, seu argumento está matematicamente correto e justifica o melhor custo-benefício.
🔴 B) Breno: Incorreto. Ele afirma que a fatia da pizza média é maior, o que nossos cálculos acabaram de desmentir.
🔴 C) Cleber: Incorreto. Ele cai na armadilha de ignorar o tamanho das fatias, focando apenas no preço por fatia.
🔴 D) Davidson: Incorreto. Ele cai na armadilha da falsa proporcionalidade, comparando uma medida linear (diâmetro) com o preço para avaliar uma área. Seu raciocínio é falho.
🔴 E) Eric: Incorreto. Ele acerta na escolha (pizza grande), mas erra grosseiramente no motivo. Dizer que o diâmetro não importa é o oposto da verdade; o diâmetro é a informação crucial para calcular a área e provar o custo-benefício.

🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

6.1 Resumo do Raciocínio
Calculamos a área por real gasto para cada pizza e concluímos que a pizza grande oferece um valor superior. Ao analisar os argumentos, Alan foi o único que apresentou uma justificativa matematicamente válida e coerente com nossos cálculos para essa conclusão.

6.2 Gabarito Reafirmado
Apesar de o gabarito oficial apontar a letra D, a análise matemática rigorosa mostra que o único argumento correto é o de Alan. Portanto, a resposta correta é a alternativa A.

6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Sempre que for comparar o custo-benefício de itens cuja quantidade é medida por área (como pizzas ou terrenos), lembre-se: a área cresce com o quadrado de medidas lineares (raio, diâmetro, lado). Nunca confie em proporções lineares