Uma prefeitura possui modelos de lixeira de forma cilíndrica, sem tampa, com raio medindo 10 cm e altura de 50 cm. Para fazer uma compra adicional, solicita à empresa fabricante um orçamento de novas lixeiras, com a mesma forma e outras dimensões. A prefeitura só irá adquirir as novas lixeiras se a capacidade de cada uma for no mínimo dez vezes maior que o modelo atual e seu custo unitário não ultrapassar R$ 20,00. O custo de cada lixeira é proporcional à sua área total e o preço do material utilizado na sua fabricação é de R$ 0,20 para cada 100 cm². A empresa apresenta um orçamento discriminando o custo unitário e as dimensões, com o raio sendo o triplo do anterior e a altura aumentada em 10 cm. (Aproxime π para 3.)
O orçamento dessa empresa é rejeitado pela prefeitura, pois
A) custo de cada lixeira ficou em R$ 21,60.
B) o custo de cada lixeira ficou em R$ 27,00.
C) o custo de cada lixeira ficou em R$ 32,40.
D) a capacidade de cada lixeira ficou 3 vezes maior.
E) capacidade de cada lixeira ficou 9 vezes maior.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Geometria Espacial (Cilindro Sem Tampa), Razão e Proporção, Unidade de Medida (cm², cm³), Matemática Financeira Básica
Tema/Objetivo Geral:
Análise de área total e volume de um cilindro com base no custo por material e verificação de critérios estabelecidos para aquisição.
Nível da Questão:
Médio. Exige domínio de fórmulas de área e volume do cilindro, interpretação proporcional de custo por área e uma leitura atenta de condições para aceitação ou rejeição da proposta.
Gabarito:
Alternativa B: o custo de cada lixeira ficou em R$ 27,00.
🟢 Correta, pois calcula corretamente a nova área total do cilindro e o custo proporcional ao material, identificando que o valor ultrapassa o limite de R$ 20,00.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial:
“O orçamento dessa empresa é rejeitado pela prefeitura, pois…”
1.2 O que está sendo pedido?
Identificar o motivo da rejeição do orçamento de novas lixeiras.
1.3 Objetivo Cristalino:
Verificar se o custo ultrapassou R$ 20,00 ou se a capacidade não foi aumentada em 10 vezes, como exigido.
1.4 Pergunta de Atenção:
Você lembrou de que a lixeira não tem tampa? E que o custo está ligado à área total (base + lateral)?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos:
- Cilindro sem tampa: só possui base e lateral (sem topo).
- Área da base (A_base): π * r²
- Área lateral (A_lat): 2 * π * r * h
- Área total (sem tampa): A_total = A_base + A_lat
- Volume do cilindro: V = π * r² * h
- Custo proporcional: a cada 100 cm² → R$ 0,20
- Para calcular o custo:
→ área total ÷ 100 × 0,20
Classificação dos termos:
- π (pi): constante ≈ 3 (conforme pedido)
- r: raio da base
- h: altura do cilindro
- Custo proporcional: valor variável de acordo com a área
Exemplo cotidiano:
É como comprar tecido: quanto maior a superfície do seu projeto, mais material você usa, e mais caro ele fica. O mesmo vale aqui para as lixeiras!
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada:
A prefeitura quer comprar novas lixeiras, desde que cada uma tenha pelo menos 10x a capacidade da antiga e que o custo seja no máximo R$ 20,00. A empresa propõe uma com raio 3 vezes maior e altura aumentada em 10 cm.
3.2 Estratégia Geral:
- Calcular a capacidade (volume) das duas lixeiras e verificar se a nova tem pelo menos 10x a da antiga.
- Calcular a área total da nova lixeira.
- Calcular o custo unitário proporcional à área.
- Verificar se o orçamento atende às condições da prefeitura.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Modelo atual:
Raio = 10 cm
Altura = 50 cm
π = 3
Volume atual:
V = π * r² * h
V = 3 * (10)² * 50 = 3 * 100 * 50 = 15 000 cm³
Novo modelo proposto:
Raio = 3 * 10 = 30 cm
Altura = 50 + 10 = 60 cm
Volume novo:
V = 3 * (30)² * 60 = 3 * 900 * 60 = 162 000 cm³
Verificação de capacidade:
162 000 ÷ 15 000 = 10,8 vezes maior → ✅ Atende ao critério de capacidade
Área da nova lixeira (sem tampa):
Área da base:
A_base = 3 * 30² = 3 * 900 = 2 700 cm²
Área lateral:
A_lat = 2 * 3 * 30 * 60 = 6 * 30 * 60 = 10 800 cm²
Área total:
A_total = 2 700 + 10 800 = 13 500 cm²
Cálculo do custo:
Cada 100 cm² custa R$ 0,20
13 500 ÷ 100 = 135 blocos de 100 cm²
135 * 0,20 = R$ 27,00
Resultado:
❌ Ultrapassa o limite de R$ 20,00
4.2 Verificação Intermediária:
✓ A capacidade atende ao mínimo exigido.
✘ O custo ultrapassou em R$ 7,00 o valor máximo aceito.
4.3 Possível armadilha:
Você pode ter parado no fato de que o volume aumentou o suficiente e pensado que estaria tudo certo. Porém, a questão exige duas condições simultâneas: capacidade e custo. Não basta uma delas.
4.4 Fechamento e Expectativa:
Agora vamos procurar nas alternativas aquela que aponta o custo real de R$ 27,00 como justificativa da rejeição.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas:
A) custo de cada lixeira ficou em R$ 21,60
B) custo de cada lixeira ficou em R$ 27,00
C) custo de cada lixeira ficou em R$ 32,40
D) capacidade de cada lixeira ficou 3 vezes maior
E) capacidade de cada lixeira ficou 9 vezes maior
5.2 Justificativa Individual:
🔴 Alternativa A: R$ 21,60 → Erro de cálculo: a área total foi subestimada.
🟢 Alternativa B: R$ 27,00 → Correto! Corresponde ao custo real da nova lixeira, que ultrapassa os R$ 20,00 estabelecidos.
🔴 Alternativa C: R$ 32,40 → Exagerado, isso representaria uma área muito maior que 13 500 cm².
🔴 Alternativa D: Capacidade 3x maior → Falso. A capacidade é 10,8x maior.
🔴 Alternativa E: Capacidade 9x maior → Também falso. Verificamos que é 10,8x maior.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio:
A nova lixeira realmente tem a capacidade mínima exigida, mas o custo por unidade ficou acima do limite aceito pela prefeitura, tornando o orçamento inadequado.
6.2 Gabarito Reafirmado:
Letra B: o custo de cada lixeira ficou em R$ 27,00.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Sempre que o custo for proporcional à área, use a área total (base + lateral) e aplique a razão corretamente. E cuidado: se o problema impõe duas condições, as duas devem ser satisfeitas para a proposta ser aceita!
