Os movimentos ondulatórios (periódicos) são representados por equações do tipo ±Asen(wt+ϕ), que apresentam parâmetros com significados físicos importantes, tais como a frequência w = 2π/T , em que T é o período; A é a amplitude ou deslocamento máximo; ϕ é o ângulo de fase 0≤ϕ ≤2π/w , que mede o deslocamento no eixo horizontal em relação à origem no instante inicial do movimento.
O gráfico representa um movimento periódico, P = P(t), em centímetro, em que P é a posição da cabeça do pistão do motor de um carro em um instante t, conforme ilustra a figura.
A expressão algébrica que representa a posição P(t), da cabeça do pistão, em função do tempo t é:
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Funções Trigonométricas, Leitura de Gráficos, Período, Amplitude e Fase
📝 Tema/Objetivo Geral: Analisar a equação de uma função senoide com base nas características de seu gráfico, como amplitude, período e fase.
📊 Nível da Questão: Difícil
🎯 Gabarito: A
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
O enunciado apresenta um gráfico de uma função periódica do tipo P(t) = ±A × sen(wt + ϕ), representando a posição de um pistão ao longo do tempo. A questão pede que se determine a expressão algébrica correta para representar essa função com base no gráfico apresentado.
Palavras-chave: função seno, amplitude, frequência angular w, fase ϕ, gráfico da função, expressão algébrica.
📌 Objetivo: Identificar a função seno correta entre as alternativas, observando amplitude, período e fase do gráfico.
Agora que o comando foi analisado e o objetivo definido, vamos abordar os conceitos e conteúdos necessários.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Uma função periódica do tipo seno pode ser escrita como:
P(t) = A × sen(wt + ϕ)
Onde:
- A é a amplitude (valor máximo atingido pela função).
- w é a frequência angular, dada por w = 2π / T, onde T é o período.
- ϕ é a fase, que determina o deslocamento horizontal da função.
🔹 Para analisar a função, devemos observar três aspectos do gráfico:
- Valor máximo e mínimo (para obter A)
- Duração de um ciclo completo (para obter T, e com ele w)
- Ponto inicial (para saber se há fase ϕ).
Agora vamos interpretar essas informações no gráfico fornecido.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Observações do gráfico:
- A função atinge o valor máximo P = 4 e o mínimo P = -4, portanto a amplitude A = 4.
- O ciclo completo se repete de 0 até π, ou seja, o período T = π.
- Como a função começa no ponto (0, 0) e sobe, isso é típico de uma função seno sem deslocamento horizontal, ou seja, ϕ = 0.
Agora que interpretamos corretamente o gráfico, vamos calcular os parâmetros.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
- Vamos calcular w com base no período: w = 2π / T = 2π / π = 2
- Amplitude A = 4
- Fase ϕ = 0 (sem deslocamento)
🔹Assim, a função é:
P(t) = 4 × sen(2t)
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
A) P(t) = 4sen(2t) ✅ Correta: A = 4, w = 2, ϕ = 0
B) P(t) = -4sen(2t) ❌ Inverte a concavidade da função, não corresponde ao gráfico.
C) P(t) = -4sen(4t) ❌ Inverte e dobra a frequência → incorreto.
D) P(t) = 4sen(2t + π/4) ❌ Adiciona uma fase (deslocamento) que não ocorre no gráfico.
E) P(t) = 4sen(4t + π/4) ❌ Frequência e fase erradas.
✅ A alternativa correta é A.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 A função que representa o movimento do pistão é do tipo seno, com amplitude igual a 4, frequência angular igual a 2, e sem deslocamento horizontal (fase nula). Isso leva à equação P(t) = 4sen(2t).
🔍 Resumo Final: A partir da leitura do gráfico, observamos amplitude 4, período π (resultando em w = 2), e fase nula. Assim, a equação correta que modela o gráfico é P(t) = 4sen(2t), confirmando a alternativa A.
