Questão 158, caderno azul do ENEM 2020

Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram em um condomínio fechado de uma cidade. O quadriculado representa a localização das ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho nesse condomínio, em que nos pontos A, B e C estão localizadas as casas de André, Bernardo e Carlos, respectivamente.

André deseja deslocar-se da sua casa até a casa de Bernardo, sem passar pela casa de Carlos, seguindo ao longo das ruas do condomínio, fazendo sempre deslocamentos para a direita (→) ou para cima (↑), segundo o esquema da figura.

O número de diferentes caminhos que André poderá utilizar para realizar o deslocamento nas condições propostas é

a) 4

b) 14

c) 17

d) 35

e) 48

Resolução Em Texto

📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão

Matemática (Análise Combinatória: Permutação com Repetição)
Raciocínio Lógico

🎯 Tema/Objetivo Geral

Cálculo do número de caminhos em uma malha quadriculada com restrições, utilizando o princípio da exclusão.

📊 Nível da Questão

Médio a Difícil.
Por quê? A questão exige o conhecimento de como calcular o número de caminhos em uma malha (usando permutação com repetição) e, crucialmente, a aplicação do princípio da exclusão para remover os caminhos que passam por um ponto proibido. A necessidade de calcular três permutações diferentes e combiná-las corretamente torna a questão complexa.

✅ Gabarito

Alternativa C.
Resumo: O problema é resolvido em três etapas:
1) Calcula-se o número total de caminhos de A para B.
2) Calcula-se o número de caminhos “proibidos”, que são aqueles que passam por C (A → C → B).
3) Subtrai-se o número de caminhos proibidos do número total, encontrando o número de caminhos desejados.

Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

Transcrição Essencial 📌

“O número de diferentes caminhos que André poderá utilizar para realizar o deslocamento [de A até B], sem passar pela casa de Carlos [C], […] fazendo sempre deslocamentos para a direita (→) ou para cima (↑)…”

O que está sendo pedido?

A questão nos pede para contar todos os caminhos possíveis para ir do ponto A ao ponto B, movendo-se apenas para a direita ou para cima, com a condição de que nenhum desses caminhos pode passar pelo ponto C.

Objetivo Cristalino 💎

Nosso objetivo é usar a análise combinatória para calcular o número de caminhos que atendem à restrição “sem passar por C”.

🧠 Como se resolve um problema de contagem com a restrição “sem passar por”? A estratégia mais fácil geralmente é calcular o total de possibilidades e subtrair as possibilidades ruins (as que passam por C). Você sabe como calcular o total de caminhos?

Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários

Definição de Termos 🔖

Caminhos em Malha Quadriculada: O número de caminhos para ir de um ponto a outro em uma malha, movendo-se apenas em duas direções (ex: direita e cima), pode ser calculado usando permutação com repetição.
- Lógica: Para ir de A a B, precisamos dar um número fixo de passos para a direita (D) e um número fixo de passos para cima (C). Qualquer caminho é uma sequência diferente desses passos (ex: DDCCDC…). O número de caminhos é o número de permutações dessa sequência.
- Fórmula: Se temos n passos no total, sendo n₁ de um tipo (ex: Direita) e n₂ de outro tipo (ex: Cima), o número de caminhos é:
  P_n^(n₁, n₂) = n! / (n₁! ⋅ n₂!)
Princípio da Exclusão: Para contar o número de elementos de um conjunto que não possuem uma certa propriedade, podemos calcular o número total de elementos e subtrair o número de elementos que possuem a propriedade.
- Nº de Caminhos Bons = (Nº Total de Caminhos) – (Nº de Caminhos Ruins)

Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema

Contextualização Simplificada 💬

André quer ir de sua casa (A) para a casa de Bernardo (B). Ele só pode andar para a direita ou para cima. No meio do caminho, tem a casa do Carlos (C), e ele não quer passar por lá de jeito nenhum.
Nossa missão é ser um GPS e calcular quantas rotas diferentes o André pode fazer. O plano é:

Plano A (Total): Primeiro, vamos calcular todas as rotas possíveis de A para B, esquecendo a restrição.
Plano B (Proibido): Depois, vamos calcular quantas dessas rotas passam obrigatoriamente pela casa do Carlos. Uma rota que passa por C é, na verdade, duas viagens seguidas: uma de A até C, e outra de C até B.
Resultado Final: O número de rotas que o André quer é o resultado do (Plano A) – (Plano B).

Estratégia Geral 🗺️

Nossa estratégia será aplicar o Princípio da Exclusão:

Calcular o número total de caminhos de A até B.
Calcular o número de caminhos que passam por C, o que é feito multiplicando o (número de caminhos de A até C) pelo (número de caminhos de C até B).
Subtrair o resultado de (2) do resultado de (1).

Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio

Passo a Passo Detalhado 👣

Etapa 1: Calcular o número TOTAL de caminhos de A até B

Para ir de A até B, precisamos nos deslocar:
- 4 unidades para a direita (D)
- 3 unidades para cima (C)
Número total de passos (n) = 4 + 3 = 7
Este é um problema de permutar a sequência “DDDDC CC”.
Total de caminhos = P₇^(⁴,³) = 7! / (4! ⋅ 3!)
Total = (7 × 6 × 5 × 4!) / (4! ⋅ (3 × 2 × 1))
Total = (7 × 6 × 5) / 6
Total de caminhos (A → B) = 35

Etapa 2: Calcular o número de caminhos PROIBIDOS (que passam por C)

Um caminho que passa por C é uma composição de um caminho de A até C, seguido por um caminho de C até B.

Subetapa 2.1: Caminhos de A até C
- Para ir de A até C, precisamos nos deslocar:
  - 2 unidades para a direita (D)
  - 2 unidades para cima (C)
- Total de passos (n) = 2 + 2 = 4
- Caminhos (A → C) = P₄^(²,²) = 4! / (2! ⋅ 2!)
- Caminhos (A → C) = (4 × 3 × 2 × 1) / ((2 × 1) ⋅ (2 × 1)) = 24 / 4 = 6
Subetapa 2.2: Caminhos de C até B
- Para ir de C até B, precisamos nos deslocar:
  - 2 unidades para a direita (D)
  - 1 unidade para cima (C)
- Total de passos (n) = 2 + 1 = 3
- Caminhos (C → B) = P₃^(²,¹) = 3! / (2! ⋅ 1!)
- Caminhos (C → B) = (3 × 2 × 1) / ((2 × 1) ⋅ 1) = 6 / 2 = 3
Subetapa 2.3: Total de caminhos proibidos
- Pelo Princípio Multiplicativo, o número de caminhos de A → C → B é o produto dos caminhos de cada trecho.
- Caminhos proibidos = Caminhos (A → C) × Caminhos (C → B)
- Caminhos proibidos = 6 × 3 = 18

Etapa 3: Calcular o número de caminhos desejados

Caminhos desejados = (Total de caminhos) – (Caminhos proibidos)
Caminhos desejados = 35 – 18
Caminhos desejados = 17

A Armadilha Comum 🚨

A principal armadilha é esquecer de subtrair os caminhos que passam por C, o que levaria à alternativa D (35). Outra armadilha comum é errar na fórmula da permutação com repetição ou na contagem dos passos para cada trecho.

Fechamento e Expectativa

O cálculo nos levou a um resultado de 17 caminhos possíveis. Agora, vamos procurar essa resposta nas alternativas.

Passo 5: Análise das Alternativas

🔴 A) 4.
🔴 B) 14.
🟢 C) 17. Correta. Corresponde exatamente ao resultado do cálculo (35 caminhos totais – 18 caminhos proibidos).
🔴 D) 35. Incorreta. Este é o número total de caminhos, sem aplicar a restrição.
🔴 E) 48.

Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

Resumo do Raciocínio 📝

O problema foi resolvido utilizando o Princípio da Exclusão em conjunto com a fórmula de permutação com repetição para contagem de caminhos. Primeiramente, calculou-se o número total de caminhos de A para B, que é a permutação de 7 passos (4 para a direita e 3 para cima), resultando em 35 caminhos. Em seguida, calculou-se o número de caminhos que passam pelo ponto restrito C. Isso foi feito multiplicando-se o número de caminhos de A para C (P₄^(²,²) = 6) pelo número de caminhos de C para B (P₃^(²,¹) = 3), totalizando 18 caminhos proibidos. Finalmente, o número de caminhos permitidos foi obtido pela subtração do total de caminhos pelo número de caminhos proibidos: 35 – 18 = 17.

Gabarito Reafirmado 🏅

A alternativa correta é a C.

Resumo Final para Revisão 🔍

Problemas de “caminhos na malha” são quase sempre sobre permutação com repetição. Se houver um ponto proibido, a estratégia é: TOTAL – PROIBIDOS. Para calcular os proibidos, “quebre” a viagem em duas partes e multiplique os caminhos.