Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram em um condomínio fechado de uma cidade. O quadriculado representa a localização das ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho nesse condomínio, em que nos pontos A, B e C estão localizadas as casas de André, Bernardo e Carlos, respectivamente.
André deseja deslocar-se da sua casa até a casa de Bernardo, sem passar pela casa de Carlos, seguindo ao longo das ruas do condomínio, fazendo sempre deslocamentos para a direita (→) ou para cima (↑), segundo o esquema da figura.
O número de diferentes caminhos que André poderá utilizar para realizar o deslocamento nas condições propostas é
a) 4
b) 14
c) 17
d) 35
e) 48
Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Contagem e Permutação com Repetição (Matemática Combinatória).
- Interpretação de Diagramas e Problemas de Trajetória.
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: Letra C – 17
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
André deseja se deslocar da casa A até a casa B, sem passar pela casa C, e fazendo sempre movimentos para cima (↑) e para a direita (→). O objetivo é calcular quantos caminhos diferentes existem para cumprir essa condição.
Palavras-chave:
- Deslocamento: São os movimentos ↑ e → para ir de A a B.
- Sem passar por C: Os caminhos que passam por C devem ser eliminados do total.
Objetivo:
Calcular o número total de caminhos possíveis entre A e B e subtrair os caminhos que passam por C.
Passo 2: Tradução e Interpretação do Texto
No gráfico, vemos que André precisa:
- Sair da posição A (canto inferior esquerdo).
- Chegar até B (posição no canto superior direito).
Informações importantes:
- Para ir de A a B, André deve:
- Realizar 3 movimentos para cima (↑↑↑).
- Realizar 4 movimentos para a direita (→→→→).
- Isso totaliza 3 + 4 =7 movimentos.
- Se ele passar por C, a trajetória é dividida em duas partes:
- De A a C (2 movimentos para cima e 2 para a direita).
- De C a B (1 movimento para cima e 2 para a direita).
Nosso objetivo é:
- Calcular o total de trajetos de A a B.
- Calcular os trajetos de A a B passando por C.
- Subtrair o valor 2 do 1.
Passo 3: Explicação de Conceitos Necessários
Antes de calcular, vamos entender melhor:
- Permutação com Repetição:
- Quando temos uma sequência com repetições, o número total de combinações é dado pela fórmula:
- Onde:
- n! é o fatorial do total de elementos.
- a!, b!, etc., são os fatoriais das quantidades de cada elemento repetido.
- Trajetórias em uma grade:
- Cada caminho é uma sequência de movimentos para cima (↑↑↑) e para a direita (→→→), e o número total de caminhos depende das combinações possíveis desses movimentos.
- Divisão em Partes:
- Ao passar por C, dividimos o trajeto total em duas etapas e calculamos as combinações separadamente:
- De A a C.
- De C a B.
Passo 4: Desenvolvimento do raciocínio e cálculos
1. Caminhos totais de A a B:
Para ir de A a B, André realiza:
- 3 movimentos para cima (↑↑↑).
- 4 movimentos para a direita (→→→→).
O número total de caminhos é dado por:
2. Caminhos passando por C:
Se André passa por C, dividimos a trajetória em duas etapas:
- De A a C:
- 2 movimentos para cima (↑↑).
- 2 movimentos para a direita (→→).
- O total é:
- De C a B:
- 1 movimento para cima (↑).
- 2 movimentos para a direita (→→).
- O total é:
Multiplicando os dois trechos:
- 6 ⋅ 3 = 18 caminhos que passam por C
3. Caminhos que NÃO passam por C:
Subtraímos os caminhos que passam por C do total:
- 35 − 18 = 17
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
- Agora, analisamos cada alternativa:
a) 4
- Errada. Esse valor é muito pequeno. Representaria o número de caminhos para um trajeto menor.
b) 14
- Errada. Esse número não corresponde à diferença correta entre os trajetos totais e os que passam por C.
c) 17
- Correta. Conforme calculado, o número de trajetos que André pode fazer sem passar por C é exatamente 17.
d) 35
- Errada. Esse valor corresponde ao número total de caminhos de A a B, sem eliminar os que passam por CC.
e) 48
- Errada. Esse número não tem relação com os cálculos apresentados.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
O problema utiliza conceitos de permutação com repetição para calcular os trajetos possíveis de A a B. Primeiro, encontramos o total de caminhos (35). Depois, eliminamos os caminhos que passam por C (18). O resultado final, 17, confirma que a alternativa correta é a letra C.
