O funcionário de uma loja tem seu salário mensal formado por uma parcela fixa de 675 reais mais uma comissão que depende da quantidade de peças vendidas por ele no mês. O cálculo do valor dessa comissão é feito de acordo com estes critérios:
• até a quinquagésima peça vendida, paga-se 5 reais por peça;
• a partir da quinquagésima primeira peça vendida, o valor pago é de 7 reais por peça.
Represente por q a quantidade de peças vendidas no mês por esse funcionário, e por S(q) o seu salário mensal, em real, nesse mês.
A expressão algébrica que descreve S(q) em função de q é
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Funções, Função do 1º Grau, Função Definida por Várias Sentenças/Por Partes).
Tema/Objetivo Geral
Modelagem Algébrica. O objetivo é traduzir uma situação financeira do cotidiano (salário com comissões progressivas) para a linguagem matemática formal.
Nível da Questão: Médio
- Detalhe: Embora a matemática básica envolvida seja simples (soma e multiplicação), a questão exige abstração para montar uma “Função por Partes”. O aluno precisa entender que, ao mudar de nível de vendas, o lucro anterior se cristaliza como uma constante. Além disso, a presença de um erro de digitação na prova oficial eleva a dificuldade de interpretação.
Gabarito: Questão Anulada
- Detalhe: A alternativa que traz a lógica correta para a segunda metade do problema é a (E), porém, ela apresenta um erro de digitação grotesco na primeira metade da fórmula (trocando o valor fixo de 675 por 625), o que invalidou tecnicamente o item.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A questão quer que você escreva a “lei matemática” que define o salário desse vendedor. O grande desafio é que não existe uma regra única: a regra do jogo muda dependendo de quanto ele vende.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Pense nisso como um Taxímetro ou a Conta de Luz.
Existe a “Bandeira 1” (para poucas vendas) e a “Bandeira 2” (para muitas vendas). O segredo brutal aqui é entender que, quando você entra na Bandeira 2, o dinheiro que você ganhou na Bandeira 1 não desaparece; ele fica guardado no bolso e o novo valor só vale para o que exceder o limite.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Fixar a Base: Identificar o salário que cai na conta mesmo se ele não vender nada.
- Modelar a Fase 1: Criar a fórmula para vendas baixas (até 50 peças).
- Modelar a Fase 2: Criar a fórmula para vendas altas (acima de 50), lembrando de somar o “bônus acumulado” da fase anterior.
- O Confronto: Comparar nossa fórmula com as opções e achar onde o examinador errou.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para resolver problemas onde a regra muda no meio do caminho (Funções por Partes), vamos utilizar um Fluxograma de Raciocínio Lógico em Texto.
Vamos acompanhar o dinheiro entrando passo a passo:
O Fluxo do Dinheiro:
Estágio 1: O Chão (Salário Fixo)
Valor: 675 reais.
Regra: Esse dinheiro já é do funcionário, independentemente das vendas.
Estágio 2: A Primeira Faixa (De 1 a 50 peças)
Valor: 5 reais por peça.
Regra: Cada peça vendida aqui adiciona 5 reais ao montante.
Limite: Se o funcionário vender exatamente 50 peças, ele “zera” essa fase. O lucro máximo aqui é: 50 peças vezes 5 reais = 250 reais.
Estágio 3: A Faixa Bônus (Da peça 51 em diante)
Valor: 7 reais por peça.
Regra Crítica (O Pulo do Gato): Esse valor de 7 reais NÃO se aplica às primeiras 50 peças. Ele só vale para as peças “extras”.
Matematicamente: Se ele vendeu “q” peças no total, as peças extras são calculadas como (q – 50).
Conceito de Acumulação:
Quando o funcionário entra no Estágio 3, o salário dele será a soma de três coisas:
- O Fixo (675).
- O Máximo da Faixa anterior (250).
- O Lucro da nova Faixa (7 vezes o excedente).
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos montar a função S(q) para os dois cenários possíveis.
Cenário A: Vendas Baixas (q menor ou igual a 50)
Aqui é conta de padaria. O salário é o fixo mais 5 reais por peça.
S(q) = 675 + 5q
(Guarde isso: Essa é a primeira linha obrigatória da resposta).
Cenário B: Vendas Altas (q maior que 50)
Aqui precisamos somar tudo o que acumulamos.
O salário será composto por:
- Fixo: 675
- Comissão das 50 primeiras: 50 vezes 5 = 250.
- Comissão do excedente: 7 vezes (q – 50).
Vamos escrever a equação completa:
S(q) = 675 + 250 + 7(q – 50)
Agora, vamos fazer a álgebra básica (distributiva/chuveirinho no 7):
S(q) = 925 + 7q – 350
Agrupando os números (925 menos 350):
S(q) = 575 + 7q
Portanto, a função ideal e correta seria:
- Para q até 50: S(q) = 675 + 5q
- Para q acima de 50: S(q) = 575 + 7q
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O erro mais sedutor aqui é o aluno pensar: “Ah, passou de 50 peças, agora é tudo 7 reais”. E escrever S(q) = 675 + 7q.
Isso é um erro brutal de lógica! Se fosse assim, ao vender a peça número 51, o salário dele daria um salto mágico retroativo, reajustando as peças que ele vendeu lá no começo do mês. Isso não existe. O preço novo só vale para a quantidade nova.
A Bússola (O Perfil do Culpado)
Síntese do raciocínio:
Estamos procurando uma alternativa que tenha duas linhas.
A primeira linha deve ser 675 + 5q.
A segunda linha deve ser 575 + 7q.
Expectativa: Provavelmente não acharemos a resposta exata porque sabemos que a questão foi anulada, mas vamos buscar a “menos errada”.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Vamos analisar cada opção procurando nossa Expectativa.
(A) S(q) = 675 + 12q
Diagnóstico do Erro: Generalização Absurda.
O aluno somou as duas taxas (5 + 7 = 12) e aplicou para tudo. Isso não faz nenhum sentido matemático ou financeiro.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(B) S(q) = 325 + 12q
Diagnóstico do Erro: Fuga da Realidade.
Números aleatórios sem conexão com o enunciado.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(C) S(q) = 675 + 7q
Diagnóstico do Erro: O Erro da Retroatividade (Armadilha Clássica).
Assume que o valor de 7 reais substitui o valor de 5 reais para todas as peças vendidas. Ignora que as primeiras 50 já foram pagas a 5 reais.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(D) S(q) = { 625 + 5q… ; 925 + 7q… }
Diagnóstico do Erro: Erro de Cálculo Duplo.
Na primeira parte, erra o fixo (põe 625 em vez de 675). Na segunda parte, usa o valor 925 (que é a soma 675 + 250), mas esquece de subtrair a parte do (q-50), duplicando a conta.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(E) S(q) = { 625 + 5q… ; 575 + 7q… }
Análise de Correspondência:
Vamos olhar com lupa:
A segunda linha diz 575 + 7q. BINGO! Isso bate exato com o nosso cálculo para vendas acima de 50.
A primeira linha diz 625 + 5q. OPA! O enunciado diz claramente que o fixo é 675. O examinador digitou 625 por engano.
Devido a esse erro de digitação na primeira linha, não existe resposta 100% correta.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta (considerando a intenção, mas anulada oficialmente).
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta seria a Alternativa E se corrigissem o erro de digitação. O conceito central é a Função Definida por Partes e o acúmulo de valores.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Mudou de fase? O dinheiro da fase anterior vai para o cofre (vira constante) e o contador recomeça do zero com a nova regra.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Você verá exatamente esse conceito na sua vida adulta ao declarar o Imposto de Renda (IRRF). O imposto é “progressivo”. Você não paga a alíquota máxima sobre todo o seu salário. Você é isento numa parte, paga um pouquinho sobre a próxima faixa, e paga a mordida do leão (27,5%) apenas sobre o valor que ultrapassa o teto máximo. É a matemática da questão 157 aplicada ao seu bolso!
