Ao analisar os dados de uma epidemia em uma cidade, peritos obtiveram um modelo que avalia a quantidade de pessoas infectadas a cada mês, ao longo de um ano. O modelo é dado por p(t) = -t2 + 10t + 24, sendo t um número natural, variando de 1 a 12, que representa os meses do ano, e p(t) a quantidade de pessoas infectadas no mês t do ano. Para tentar diminuir o número de infectados no próximo ano, a Secretaria Municipal de Saúde decidiu intensificar a propaganda oficial sobre os cuidados com a epidemia. Foram apresentadas cinco propostas (I, II, III, IV e V), com diferentes períodos de intensificação das propagandas:
• I: 1 ≤ t ≤ 2;
• II: 3 ≤ t ≤ 4;
• III: 5 ≤ t ≤ 6;
• IV: 7 ≤ t ≤ 9;
• V: 10 ≤ t ≤ 12.
A sugestão dos peritos é que seja escolhida a proposta cujo período de intensificação da propaganda englobe o mês em que, segundo o modelo, há a maior quantidade de infectados. A sugestão foi aceita.
A proposta escolhida foi a
A) I.
B) II.
C) III.
D) IV.
E) V.
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Função do 2º Grau / Função Quadrática, Vértice da Parábola).
Tema/Objetivo Geral
Otimização em Modelagem Matemática. O objetivo é determinar o ponto de máximo de uma função quadrática para embasar uma decisão de gestão pública.
Nível da Questão: Fácil
- A questão exige apenas a aplicação direta de uma fórmula fundamental do ensino médio (coordenada x do vértice), sem a necessidade de interpretações complexas de texto ou conversões de unidades.
Gabarito: Alternativa C
- O cálculo do vértice da função mostra que o pico de infectados ocorre no mês 5. A alternativa C corresponde ao período III (meses 5 e 6), que é o único intervalo que contém o mês 5.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
O problema fornece uma função que descreve o aumento e a diminuição de uma doença ao longo do tempo. Ele pede explicitamente para identificarmos o momento (o mês “t”) em que essa doença atinge seu número máximo de infectados.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine uma montanha russa. O carrinho sobe, chega ao topo e desce. A função dada descreve o desenho desse trilho. A questão não quer saber a altura da montanha (número de pessoas), ela quer saber em que “minuto” o carrinho passa pelo ponto mais alto. Precisamos achar o momento da virada.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Identificar a Ferramenta: Reconhecer os coeficientes da função do 2º grau.
- Calcular o Momento do Pico: Utilizar a fórmula do X do Vértice para encontrar o mês crítico.
- Enquadrar na Tabela: Verificar em qual das faixas de tempo propostas (I a V) o nosso resultado se encaixa.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para resolver problemas de “máximo” ou “mínimo” em funções do segundo grau, precisamos diferenciar duas perguntas cruciais. Vamos usar uma Ficha Técnica para não confundir.
FICHA TÉCNICA: O VÉRTICE DA PARÁBOLA
Pergunta Tipo A: “QUANDO ocorre o máximo?”
- Refere-se ao eixo horizontal (Tempo, Unidades Produzidas).
- Fórmula necessária: t_v = -b / (2a)
Pergunta Tipo B: “QUAL É o valor máximo?”
- Refere-se ao eixo vertical (Número de infectados, Lucro total, Altura).
- Fórmula necessária: y_v = -Delta / (4a)
Aplicação no Caso:
O texto pede para escolher o período que englobe “o mês”. Como “mês” é tempo, utilizaremos exclusivamente a fórmula do t_v (X do Vértice).
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos extrair os dados da função fornecida: p(t) = -t^2 + 10t + 24.
Identificação dos Coeficientes:
- a = -1 (o termo que acompanha o t^2). O sinal negativo confirma que a concavidade é para baixo (formato de morro), logo existe um pico máximo.
- b = 10 (o termo que acompanha o t).
- c = 24 (o termo independente).
Execução do Cálculo (Encontrando o mês do pico):
Aplicamos a fórmula selecionada no Passo 2:
t_v = -10 / (2 * -1)
t_v = -10 / -2
t_v = 5
Interpretação do Resultado:
O pico da epidemia ocorre exatamente no mês 5.
Agora, vamos analisar as propostas de propaganda para ver qual delas cobre o mês 5:
- Proposta I: Meses 1 e 2.
- Proposta II: Meses 3 e 4.
- Proposta III: Meses 5 e 6. (O mês 5 está aqui).
- Proposta IV: Meses 7 a 9.
- Proposta V: Meses 10 a 12.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O erro mais comum aqui é confundir “máximo” com “raízes”. Muitos alunos igualam a equação a zero e resolvem Bhaskara. Se você fizesse isso, encontraria t = 12 (fim da epidemia) e marcaria a alternativa E, ou t = -2 (tempo inexistente).
Outro erro é calcular o Y do vértice (quantidade de pessoas), que daria 49. Como não existe “mês 49”, o aluno ficaria perdido. Lembre-se: Pergunta de tempo exige resposta de tempo.
A Bússola (O Perfil do Culpado)
Síntese do raciocínio: O vértice ocorre em t=5. Precisamos da alternativa que contenha o número 5.
Expectativa: Devemos buscar o intervalo que inclui o número 5.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
(A) I (1 ≤ t ≤ 2).
Análise: Este intervalo cobre apenas o início da infecção, quando os números ainda estão crescendo, mas longe do auge.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(B) II (3 ≤ t ≤ 4).
Análise: O aluno pode ter errado o sinal na divisão (-10 dividido por 2, esquecendo o negativo do “a”) ou feito uma estimativa visual errada. Este período antecede o pico.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(C) III (5 ≤ t ≤ 6).
Análise de Correspondência: O cálculo do vértice indicou exatos t=5. A proposta III inicia no mês 5 e vai até o 6. Portanto, ela engloba o momento de maior gravidade da epidemia, cumprindo a exigência do enunciado.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
(D) IV (7 ≤ t ≤ 9).
Análise: Este período representa a fase de declínio da doença. Intensificar a propaganda aqui seria agir depois que o pior já passou.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(E) V (10 ≤ t ≤ 12).
Análise: Isso corresponde ao final da epidemia. O aluno que marca isso provavelmente calculou as raízes da equação (quando p(t) = 0) em vez do vértice.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta é a Alternativa C. Para encontrar o momento de ocorrência de um evento máximo em uma parábola, usamos a coordenada X do vértice.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
Para saber QUANDO foi o auge, use -b/2a. Para saber DE QUANTO foi o auge, use -Delta/4a.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este conceito é a base da Microeconomia na teoria da firma. O lucro de uma empresa costuma seguir uma curva parabólica: se produzir pouco, ganha pouco; se produzir demais, os custos explodem e o lucro cai. O administrador usa exatamente o cálculo do vértice (-b/2a) para decidir a “Produção Ótima” da fábrica.
