Ao analisar os dados de uma epidemia em uma cidade, peritos obtiveram um modelo que avalia a quantidade de pessoas infectadas a cada mês, ao longo de um ano. O modelo é dado por p(t) = -t2 + 10t + 24, sendo t um número natural, variando de 1 a 12, que representa os meses do ano, e p(t) a quantidade de pessoas infectadas no mês t do ano. Para tentar diminuir o número de infectados no próximo ano, a Secretaria Municipal de Saúde decidiu intensificar a propaganda oficial sobre os cuidados com a epidemia. Foram apresentadas cinco propostas (I, II, III, IV e V), com diferentes períodos de intensificação das propagandas:
• I: 1 ≤ t ≤ 2;
• II: 3 ≤ t ≤ 4;
• III: 5 ≤ t ≤ 6;
• IV: 7 ≤ t ≤ 9;
• V: 10 ≤ t ≤ 12.
A sugestão dos peritos é que seja escolhida a proposta cujo período de intensificação da propaganda englobe o mês em que, segundo o modelo, há a maior quantidade de infectados. A sugestão foi aceita.
A proposta escolhida foi a
A) I.
B) II.
C) III.
D) IV.
E) V.
Resolução em Texto
Informações Iniciais
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Equações do 2º grau, Regra de Três, Análise de Funções Quadráticas.
- Nível da Questão:
- Médio.
- Gabarito:
- C.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Retomada do Comando:
O enunciado apresenta o modelo p(t) = -t² + 10t + 24, onde t representa os meses do ano (de 1 a 12) e p(t) a quantidade de pessoas infectadas. São listados cinco períodos para intensificação da propaganda, e o objetivo é escolher aquele que engloba o mês com o maior número de infectados.
🔹 O que o Comando Pede:
Determinar o mês em que a função p(t) atinge seu valor máximo (o vértice da parábola) e identificar qual dos períodos de propaganda abrange esse mês.
✔ Palavras-Chave:
“vértice”, “máximo”, “campanha”, “período”, “tamanho do mês”.
✔ Objetivo:
Calcular o mês de pico de infectados e, em seguida, selecionar o período (entre as opções I a V) que contenha esse mês.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Conceitos Matemáticos Essenciais:
🔹 Função Quadrática:
- Uma função do tipo p(t) = at² + bt + c representa uma parábola.
- O valor de t que maximiza (ou minimiza) a função é dado pelo vértice.
🔹 Cálculo do Vértice:
- Para uma função quadrática, o t do vértice é calculado pela fórmula:
t_v = -b / (2a),
onde a e b são os coeficientes da função.
✔ Relação com o Problema:
Aplicando essa fórmula à função p(t) = -t² + 10t + 24, podemos encontrar o mês com a maior quantidade de infectados.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Contexto da Questão:
O enunciado indica que os dados da epidemia são modelados pela função p(t) e, para planejar a intensificação da propaganda, é necessário identificar o mês de pico, ou seja, o mês em que p(t) é máximo.
🔹 Frases-Chave:
- “quantidade de pessoas infectadas a cada mês”
- “o mês em que, segundo o modelo, há a maior quantidade de infectados.”
✔ Interpretação:
Devemos encontrar o t (mês) que maximiza a função, para então determinar qual período de propaganda (I: 1 ≤ t ≤ 2; II: 3 ≤ t ≤ 4; III: 5 ≤ t ≤ 6; IV: 7 ≤ t ≤ 9; V: 10 ≤ t ≤ 12) inclui esse t.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Desenvolvimento Passo a Passo:
- Identificar os Coeficientes da Função:
- A função é p(t) = -t² + 10t + 24.
- Assim, a = -1 e b = 10.
- Calcular o t do Vértice:
- Usamos a fórmula: t_v = -b / (2a).
- Substituindo, temos:
t_v = -10 / (2 × -1) = 10 / 2 = 5.
- Interpretar o Resultado:
- O valor t = 5 significa que a quantidade de infectados é máxima no 5º mês do ano.
- Verificar o Período da Propaganda:
- Dentre as opções:
- I: 1 ≤ t ≤ 2
- II: 3 ≤ t ≤ 4
- III: 5 ≤ t ≤ 6
- IV: 7 ≤ t ≤ 9
- V: 10 ≤ t ≤ 12
- O mês 5 está incluído no período III.
- Dentre as opções:
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 Alternativas:
- A) I.
- B) II.
- C) III.
- D) IV.
- E) V.
✅ Alternativa Correta – C:
- Explicação: O cálculo do vértice indica que o pico de infectados ocorre no mês 5, o que corresponde ao período 5 ≤ t ≤ 6, ou seja, a proposta III.
❌ Alternativas Incorretas:
- A) (I) não inclui o mês 5.
- B) (II) abrange os meses 3 e 4, não o 5.
- D) (IV) abrange meses de 7 a 9, e
- E) (V) abrange os meses de 10 a 12.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
Utilizando a fórmula do vértice para funções quadráticas, identificamos que p(t) = -t² + 10t + 24 atinge seu valor máximo quando t = 5, isto é, no 5º mês. Esse mês está incluído na proposta III (5 ≤ t ≤ 6), sendo essa a recomendação escolhida pelos peritos para intensificar a propaganda.
✅ Reafirmação da Alternativa Correta:
A alternativa C (III) é a resposta correta.
🔍 Resumo Final:
🔍 Portanto, a estratégia de propaganda deve ser intensificada durante o período que abrange o 5º mês, confirmando que a alternativa C é a correta.
