Certo vendedor tem seu salário mensal calculado da seguinte maneira: ele ganha um valor fixo de R$ 750,00, mais uma comissão de R$ 3,00 para cada produto vendido. Caso ele venda mais de 100 produtos, sua comissão passa a ser de R$ 9,00 para cada produto vendido, a partir do 101º produto vendido.
Com essas informações, o gráfico que melhor representa a relação entre salário e o número de produtos vendidos é
De acordo com esta pesquisa, quantas horas de seu tempo gasta um jovem entre 12 e 18 anos, na semana inteira (de segunda-feira a domingo), nas atividades escolares?
A) 20
B) 21
C) 24
D) 25
E) 27
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Função Afim (ou Função de 1º Grau): Essencial para entender a relação linear entre vendas e salário.
- Função Definida por Partes (ou por Trechos): Crucial para modelar a mudança na regra da comissão.
- Interpretação de Gráficos: A habilidade central para conectar a história (o enunciado) com a imagem (o gráfico).
Tema/Objetivo Geral:
Traduzir uma situação real de um salário com comissão escalonada para sua representação gráfica correta, identificando como a mudança na taxa de comissão afeta a inclinação da reta.
Nível da Questão
Médio – A questão vai além de uma simples função linear. Ela exige que o candidato compreenda que a mudança na “regra do jogo” (o aumento da comissão) causa uma “quebra” no gráfico, alterando sua inclinação. Não é difícil, mas exige uma camada a mais de interpretação.
Gabarito
Alternativa E. Este gráfico é o único que representa corretamente um crescimento inicial constante seguido por um crescimento mais acentuado (mais inclinado) após a marca de 100 produtos.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é clara: encontrar, entre os cinco suspeitos (os gráficos), aquele que representa fielmente a história do salário de um vendedor. Esse salário tem uma parte fixa e uma comissão que “sobe de nível” depois de 100 vendas.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense nisso como uma corrida. Nos primeiros 100 metros, você corre em um ritmo constante e bom. Mas, ao passar a marca dos 100 metros, você recebe um impulso extra de energia e começa a correr muito mais rápido, em um novo ritmo, também constante, mas bem mais veloz. O verdadeiro desafio aqui é encontrar o gráfico que mostra essa mudança de velocidade.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): Nosso plano será o seguinte:
- Estabelecer o Ponto de Partida: Calcular o salário do vendedor se ele não vender nada.
- Identificar o Ponto de Virada: Calcular o salário exato ao vender 100 produtos, o momento em que a regra muda.
- Analisar o Comportamento: Descrever como o gráfico deve se comportar antes e depois desse ponto de virada.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para este caso, vamos usar um Dossiê do Salário, dividindo a carreira do nosso vendedor em duas fases distintas.
🕵️♂️ DOSSIÊ: O SALÁRIO DO VENDEDOR 🧠
- FASE 1: O VENDEDOR JÚNIOR (Até 100 produtos vendidos)
- Salário Fixo: 750 reais (este é o ponto de partida, o mínimo que ele ganha).
- Comissão por Produto: 3 reais.
- Comportamento do Gráfico: Uma linha reta que sobe suavemente. Para cada produto vendido (passo para a direita no gráfico), o salário sobe 3 reais (pequeno passo para cima). A inclinação é moderada.
- FASE 2: O VENDEDOR SÊNIOR (A partir do 101º produto)
- Salário Base para esta Fase: O valor acumulado com 100 produtos (calcularemos a seguir).
- Nova Comissão por Produto: 9 reais (o triplo da anterior!).
- Comportamento do Gráfico: Uma nova linha reta, mas que sobe de forma muito mais agressiva. Para cada produto vendido a mais, o salário agora sobe 9 reais. A inclinação é acentuada.[1][2][3]
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Agora, vamos executar nosso plano de ataque.
- O Ponto de Partida:
- Com 0 produtos vendidos, o salário é apenas a parte fixa: 750 reais.
- Portanto, nosso gráfico DEVE começar no ponto (0, 750).
- O Ponto de Virada:
- Com exatamente 100 produtos vendidos, o cálculo é:
- Salário = Fixo + (Comissão × Nº de produtos)
- Salário = 750 + (3 × 100) = 750 + 300 = 1050 reais.
- Logo, nosso gráfico DEVE passar pelo ponto (100, 1050).
- A Análise de Comportamento:
- Antes de 100: O salário cresce a uma taxa de 3 reais por produto.
- Depois de 100: O salário cresce a uma taxa de 9 reais por produto. Como 9 é maior que 3, a reta do gráfico deve ficar visivelmente mais inclinada a partir do ponto (100, 1050).
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum aqui é pensar que, ao vender 101 produtos, a comissão de 9 reais se aplica a TODOS os 101 produtos. Isso está errado! O enunciado é claro: a comissão de 9 reais é válida a partir do 101º produto. Os primeiros 100 continuam valendo 3 reais cada. O gráfico não “salta”, ele apenas muda de direção, ficando mais íngreme.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: O cenário descreve uma função afim por partes. A primeira parte é uma reta que vai de (0, 750) até (100, 1050). A segunda parte começa em (100, 1050) e segue com uma inclinação (coeficiente angular) três vezes maior que a primeira.
- Expectativa: O gráfico correto deve ter a aparência de duas retas conectadas. A segunda reta deve ser visivelmente mais “empinada” que a primeira.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Vamos agora confrontar nosso “retrato falado” com os suspeitos.
- Alternativa A:
- Análise de Correspondência: Este gráfico mostra uma única reta com inclinação constante. Ele ignora completamente a mudança na comissão.
- Diagnóstico do Erro: Reducionismo (trata o problema como uma função afim simples, ignorando a segunda regra).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- Alternativa B:
- Análise de Correspondência: Este gráfico tem trechos curvos, o que sugeriria que a taxa de comissão muda a cada instante. Não é o caso.
- Diagnóstico do Erro: Fuga ao Tema (representa uma função não linear, que não corresponde à descrição de comissões fixas por trecho).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- Alternativa C:
- Análise de Correspondência: Mostra um salário constante (apenas o fixo) até 100 produtos e só depois começa a subir. Isso contradiz a regra da comissão de 3 reais que vale desde o primeiro produto.
- Diagnóstico do Erro: Contradição Direta.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- Alternativa D:
- Análise de Correspondência: Apresenta uma reta horizontal, indicando que o salário nunca muda, não importa quantos produtos sejam vendidos. Ignora totalmente as comissões.
- Diagnóstico do Erro: Contradição Direta.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- Alternativa E:
- Análise de Correspondência: Perfeita! O gráfico começa em 750. Sobe com uma inclinação suave até o ponto 100 no eixo x (onde o salário está em 1050). A partir dali, a reta “empina”, mostrando um crescimento muito mais rápido.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: A alternativa E é a resposta correta porque é a única que visualiza a “mudança de marcha” na comissão do vendedor, com uma reta que se torna mais íngreme exatamente onde o incentivo financeiro aumenta.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Salário em etapas é como subir uma montanha: primeiro uma trilha suave, depois uma escalada íngreme.
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo princípio matemático governa o cálculo de impostos progressivos, como o Imposto de Renda. Você paga uma porcentagem sobre uma faixa de renda, e se ganhar mais, paga uma porcentagem maior, mas apenas sobre o valor que excede aquela faixa. Assim como no problema, a “taxa” (o imposto) muda em degraus, criando um gráfico por partes. Entender este problema é o primeiro passo para entender como sistemas de tributação complexos funcionam.
