Uma desenhista projetista deverá desenhar uma tampa de panela em forma circular. Para realizar esse desenho, ela dispõe, no momento, de apenas um compasso, cujo comprimento das hastes é de 10 cm, um transferidor e uma folha de papel com um plano cartesiano. Para esboçar o desenho dessa tampa, ela afastou as hastes do compasso de forma que o ângulo formado por elas fosse de 120o. A ponta seca está representada pelo ponto C, a ponta do grafite está representada pelo ponto B e a cabeça do compasso está representada pelo ponto A conforme a figura.
Após concluir o desenho, ela o encaminha para o setor de produção. Ao receber o desenho com a indicação do raio da tampa, verificará em qual intervalo este se encontra e decidirá o tipo de material a ser utilizado na sua fabricação, de acordo com os dados.
O tipo de material a ser utilizado pelo setor de produção será
A) I
B) II
C) III
D) IV
E) V
Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria (triângulos, trigonometria)
Nível da Questão: Médio
Gabarito: Alternativa D
Tema/Objetivo Geral: Calcular o raio resultante do compasso e, em seguida, enquadrá-lo no intervalo apropriado para decidir o tipo de material.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
🔹 Retomar o Comando da Questão
O enunciado descreve um compasso cujas hastes medem 10 cm, formando um ângulo de 120°. Deseja-se encontrar o raio do círculo traçado (distância entre a ponta seca e a ponta do grafite) e, a partir desse valor, verificar em qual intervalo de raios ele se enquadra (tabela com intervalos).
📌 Explicação Detalhada
- A haste do compasso (10 cm) é o lado do triângulo isósceles.
- O ângulo de 120° está no vértice em que a “cabeça” do compasso se localiza.
- Precisamos encontrar o raio do círculo que esse compasso desenhará.
- Por fim, verificar na tabela de intervalos de raios qual o tipo de material.
✔ Identificação de Palavras-chave
- “Compasso de 10 cm de haste”
- “Ângulo de 120°”
- “Raio do círculo resultante”
- “√3 aproximado por 1,7”
✔ Definição do Objetivo
Calcular o valor do raio (R) e ver em qual intervalo (I, II, III, IV, ou V) esse valor se encaixa.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
🔹 Conceitos Matemáticos Essenciais
- Triângulo Isósceles: duas hastes de mesmo comprimento (10 cm).
- Ângulo de 120°: ângulo no vértice A do compasso.
- Cos(30°): valor clássico, cos(30°) = √3 ÷ 2.
- Relação entre a base do triângulo e a altura.
✔ Fórmulas e Definições
- cos(30) = (adjacente) ÷ (hipotenusa)
- Raio (R) = 10 × √3 (resultado do cálculo).
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Análise do Contexto
- O compasso forma um ângulo de 120°, mas o ângulo no triângulo retângulo que interessa é 30°, pois cada haste de 10 cm se divide a base do triângulo ao meio.
- O valor de √3 é aproximado por 1,7.
🔹 Identificação de Frases-chave
- “As hastes têm 10 cm”
- “Ângulo de 120°”
- “√3 aproximado por 1,7”
🔹 Tradução para Termos Matemáticos
Precisamos relacionar “compasso de 10 cm” com “ângulo de 120°” para achar R (meia-base do triângulo é R ÷ 2). Então, o ângulo de 30° surge em cada lado do triângulo retângulo.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Resolução Completa
- Visualize o triângulo isósceles: vértice A (cabeça do compasso) e base BC (ponta seca C e ponta grafite B).
- O ângulo em A é 120°, então cada “metade” do triângulo possui ângulo de 60° no vértice A, resultando em 30° no triângulo retângulo, pois a base se divide ao meio.
- Considere a “metade” do triângulo, com:
- Hipotenusa = 10 cm.
- Adjacente ao ângulo de 30° = (R ÷ 2).
- cos(30) = (R ÷ 2) ÷ 10.
- Como cos(30) = √3 ÷ 2, temos:
- (R ÷ 2) ÷ 10 = √3 ÷ 2.
- Multiplicando os dois lados por 10:
- R ÷ 2 = 10 × (√3 ÷ 2).
- Então:
- R = 20 × (√3 ÷ 2) = 10 × √3.
- Usando a aproximação √3 = 1,7:
- R ≈ 10 × 1,7 = 17 cm.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 Interpretação Final
O raio obtido é R = 17 cm (aproximado).
🔹 Tabela de Intervalos
- I: 0 < R ≤ 5
- II: 5 < R ≤ 10
- III: 10 < R ≤ 15
- IV: 15 < R ≤ 21
- V: 21 < R ≤ 40
✅ Justificativa da Alternativa Correta
O raio 17 cm encaixa-se no intervalo de 15 < R ≤ 21, que corresponde ao tipo IV.
❌ Análise das Alternativas Incorretas
- I, II, III e V não contêm o valor 17 cm.
- Portanto, a única opção compatível é IV.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio
Calculamos o raio do círculo usando trigonometria em um triângulo isósceles com ângulo de 120° e hastes de 10 cm. Encontramos R = 17 cm. Verificando a tabela, esse valor se encontra no intervalo de 15 a 21.
🔍 Resumo Final
A tampa de 17 cm de raio enquadra-se no tipo de material IV, confirmando a Alternativa D.
