Um proprietário pretende instalar um sensor de presença para a proteção de seu imóvel. O sensor deverá detectar movimentos de objetos e pessoas numa determinada região plana. A figura ilustra a vista superior da área de cobertura (setor circular em azul) de um sensor colocado no ponto S. Essa área depende da medida do ângulo α, em grau, e do raio R, em metro.
Ao aumentar o ângulo α ou o raio R aumenta-se a área de cobertura do sensor. Entretanto, quanto maior essa área, maior o preço do sensor.
Para esse fim, há cinco tipos de sensores disponíveis no mercado, cada um com as seguintes características:
• tipo I: α = 15° e R = 20 m;
• tipo II: α = 30° e R = 22 m;
• tipo III: α = 40° e R = 12 m;
• tipo IV: α = 60° e R = 16 m;
• tipo V: α = 90° e R = 10 m.
Esse proprietário pretende adquirir um desses sensores que seja capaz de cobrir, no mínimo, uma área de medida 70 m², com o menor preço possível.
Use 3 como valor aproximado para π.
O proprietário do imóvel deverá adquirir o sensor do tipo
A) l.
B) ll.
C) lll.
D) lV.
E) V.
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Geometria Plana (Área de Setor Circular)
- Aritmética e Análise Comparativa
- Tema/Objetivo Geral: Calcular a área de diferentes setores circulares e, com base em um critério de área mínima e otimização de custo (menor área), selecionar a melhor opção.
- Nível da Questão: Médio.
- A questão exige a leitura atenta da relação entre área e preço (“quanto maior essa área, maior o preço”) para entender que a otimização do custo implica escolher, dentre as opções válidas, a de menor área.
- Gabarito: E
- A alternativa está correta. A tarefa é encontrar o sensor com a menor área que seja maior ou igual a 70 m². As áreas calculadas são: I=50m², II=121m², III=48m², IV=128m², V=75m². As que atendem ao requisito são II, IV e V. Dentre estas, a que possui a menor área (e, portanto, o menor preço) é a V, com 75 m².
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: Em bom português, a missão é: “Preciso de um sensor que cubra no mínimo 70 m². Tenho 5 opções. O preço aumenta com a área. Qual dos 5 sensores eu devo comprar para atender minha necessidade e gastar o mínimo possível?”
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine que você precisa comprar um pote para guardar, no mínimo, 70 litros de água. Na loja, há cinco potes de tamanhos diferentes: 50L, 121L, 48L, 128L e 75L. O preço do pote aumenta com o tamanho. Qual pote você compra? Você primeiro elimina os que não servem (os de 50L e 48L). Sobram três potes (121L, 128L e 75L). Para ter o “menor preço”, você escolhe o menor pote que ainda serve, que é o de 75L.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Relembrar a “Receita”: Qual é a fórmula para calcular a área de cobertura (a “capacidade do pote”)?
- Calcular a Capacidade de Cada “Pote”: Vamos calcular a área de cobertura de cada um dos cinco sensores.
- Filtrar os Candidatos: Vamos eliminar os sensores que não atendem ao requisito mínimo de 70 m².
- Selecionar o Mais Econômico: Dentre os que sobraram, vamos escolher o que tiver a menor área, pois ele terá o menor preço.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para este caso, a ferramenta principal é a Fórmula da Área do Setor Circular.
DOSSIÊ: A FÓRMULA DA ÁREA
- A Lei: A área de um setor é uma fração da área de um círculo completo (πR²), determinada pela proporção do seu ângulo (α) em relação ao ângulo total (360°).
- A Fórmula: Área = (α / 360) × π × R²
- Dados do Caso: π ≈ 3.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Agora, vamos executar o plano e calcular a área para cada tipo de sensor.
- Tipo I (α=15°, R=20):
A = (15/360) × 3 × 20² = (1/24) × 3 × 400 = 1200 / 24 = 50 m²- Veredito: 50 < 70. Não serve.
- Tipo II (α=30°, R=22):
A = (30/360) × 3 × 22² = (1/12) × 3 × 484 = 484 / 4 = 121 m²- Veredito: 121 ≥ 70. Serve.
- Tipo III (α=40°, R=12):
A = (40/360) × 3 × 12² = (1/9) × 3 × 144 = 144 / 3 = 48 m²- Veredito: 48 < 70. Não serve.
- Tipo IV (α=60°, R=16):
A = (60/360) × 3 × 16² = (1/6) × 3 × 256 = 256 / 2 = 128 m²- Veredito: 128 ≥ 70. Serve.
- Tipo V (α=90°, R=10):
A = (90/360) × 3 × 10² = (1/4) × 3 × 100 = 300 / 4 = 75 m²- Veredito: 75 ≥ 70. Serve.
Conclusão da Investigação: Os sensores que atendem ao requisito são os tipos II (121 m²), IV (128 m²) e V (75 m²).
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A principal armadilha aqui é a otimização incompleta. Um candidato pode calcular as áreas, ver que o Tipo II (121 m²) é o primeiro da lista que atende ao requisito de 70 m² e marcá-lo por pressa, sem continuar a testar os outros. O erro é não perceber que a questão tem dois critérios: atender à área MÍNIMA e ter o menor PREÇO POSSÍVEL. É preciso testar todos, filtrar os que servem e, só então, aplicar o segundo critério (menor área = menor preço).
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: A investigação calculou a área de todos os cinco sensores, selecionou os que cobrem 70 m² ou mais, e, dentre estes, identificou o que possui a menor área.
- Expectativa: A resposta correta deve ser o sensor do Tipo V, que, com 75 m², é a opção de menor área (e menor preço) que cumpre o requisito.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Agora, aplicamos o critério final: “com o menor preço possível”. O texto diz: “quanto maior essa área, maior o preço”. Logo, para ter o menor preço, devemos escolher o sensor com a menor área que passou no nosso filtro.
- Candidatos que servem: {Tipo II (121 m²), Tipo IV (128 m²), Tipo V (75 m²)}
- Menor área entre eles: 75 m², que corresponde ao Tipo V.
- A) I
- O “Diagnóstico do Erro”: Requisito Não Atendido. A área de 50 m² é insuficiente.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- B) II
- O “Diagnóstico do Erro”: Não é o Mais Econômico. Atende à área mínima, mas o sensor V também atende com uma área menor (e, portanto, preço menor).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- C) III
- O “Diagnóstico do Erro”: Requisito Não Atendido. A área de 48 m² é insuficiente.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- D) IV
- O “Diagnóstico do Erro”: Não é o Mais Econômico. Atende à área mínima, mas é o de maior área e, portanto, o de maior preço entre as opções válidas.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- E) V
- Análise de Correspondência: É a opção que possui a menor área de cobertura (75 m²) que ainda é maior ou igual ao requisito mínimo de 70 m². Portanto, é a opção de menor preço que satisfaz a condição.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa E é a correta. Este caso é uma aula de otimização, mostrando que a “melhor” opção não é a maior ou a mais potente, mas aquela que atende precisamente à sua necessidade com o menor custo.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Não compre um caminhão para levar um pacote; o carro que couber o pacote já serve e é mais barato.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo princípio de encontrar a opção de menor custo que satisfaça um requisito mínimo é a base do design de engenharia e da computação. Ao escolher um processador para um novo smartphone, um engenheiro não pega o mais potente do mercado. Ele define o desempenho mínimo necessário para rodar os aplicativos fluidamente e, então, escolhe o processador mais barato que atenda ou exceda ligeiramente esse requisito. Escolher um processador muito mais potente aumentaria o custo do aparelho e o consumo de bateria desnecessariamente. A lógica do proprietário ao escolher o sensor é a mesma do engenheiro da Apple ao escolher o chip do iPhone.
