Um proprietário pretende instalar um sensor de presença para a proteção de seu imóvel. O sensor deverá detectar movimentos de objetos e pessoas numa determinada região plana. A figura ilustra a vista superior da área de cobertura (setor circular em azul) de um sensor colocado no ponto S. Essa área depende da medida do ângulo α, em grau, e do raio R, em metro.
Ao aumentar o ângulo α ou o raio R aumenta-se a área de cobertura do sensor. Entretanto, quanto maior essa área, maior o preço do sensor.
Para esse fim, há cinco tipos de sensores disponíveis no mercado, cada um com as seguintes características:
• tipo I: α = 15° e R = 20 m;
• tipo II: α = 30° e R = 22 m;
• tipo III: α = 40° e R = 12 m;
• tipo IV: α = 60° e R = 16 m;
• tipo V: α = 90° e R = 10 m.
Esse proprietário pretende adquirir um desses sensores que seja capaz de cobrir, no mínimo, uma área de medida 70 m2, com o menor preço possível.
Use 3 como valor aproximado para π.
O proprietário do imóvel deverá adquirir o sensor do tipo
A) l.
B) ll.
C) lll.
D) lV.
E) V.
Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Matemática (geometria de setores circulares e cálculo de áreas).
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: Letra E.
1º Passo: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Comando da Questão:
Identificar qual sensor disponível no mercado cobre uma área mínima de 70 m², com o menor preço possível.
Palavras-chave:
- “Área de cobertura”
- “Setor circular”
- “Cálculo da área”
Objetivo:
Calcular a área de cobertura de cada sensor e determinar qual cobre no mínimo 70 m², com menor preço.
Dica Geral:
⚠️ Lembre-se de que a área de um setor circular é proporcional ao ângulo central em relação ao círculo completo:
2º Passo: Tradução e Interpretação dos Dados
A fórmula da área de um setor circular é:
Para cada sensor, utilizaremos π=3 e os valores de α (ângulo em graus) e R (raio em metros) fornecidos.
3º Passo: Explicação de Conceitos Necessários
- Setor circular:
A área de um setor circular é uma fração da área total do círculo, determinada pelo ângulo α\alphaα. - Fórmula da área do setor circular:
- Área do círculo completo: A=πR².
- Área do setor circular:
.
4º Passo: Cálculo
Para cada tipo de sensor:
- Tipo I:
Área < 70 m² → não atende. - Tipo II:
Área ≥ 70 m² → atende. - Tipo III:
.Área < 70 m²→ não atende. - Tipo IV:
.Área ≥ 70 m² → atende. - Tipo V:
Área ≥ 70 m² → atende.
Dica geral: Atenção⚠️ Sempre calcule todas as áreas e compare com o valor mínimo exigido antes de tomar qualquer decisão. Lembre-se de verificar qual opção satisfaz o requisito com o menor custo.
5º Passo: Conclusão e Justificativa Final
Conclusão:
Os sensores que atendem à área mínima de 70 m² são os tipos II, IV e V. Dentre eles, o sensor do tipo V apresenta o menor preço.
Resumo Final:
Após calcular as áreas de cobertura de cada sensor e verificar qual atende ao requisito de 70 m², concluímos que o sensor mais econômico é o do tipo V. A alternativa correta é E.
