O artista gráfico holandês Maurits Cornelius Escher criou belíssimas obras nas quais as imagens se repetiam, com diferentes tamanhos, induzindo ao raciocínio de repetição infinita das imagens. Inspirado por ele, um artista fez um rascunho de uma obra na qual propunha a ideia de construção de uma sequência de infinitos quadrados, cada vez menores, uns sob os outros, conforme indicado na figura.
O quadrado PRST, com lado de medida 1, é o ponto de partida. O segundo quadrado é construído sob ele tomando-se o ponto médio da base do quadrado anterior e criando-se um novo quadrado, cujo lado corresponde à metade dessa base. Essa sequência de construção se repete recursivamente.
Qual é a medida do lado do centésimo quadrado construído de acordo com esse padrão?
a) (1/2)100
b) (1/2)99
c) (1/2)97
d) (1/2)-98
e) (1/2)-99
Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Progressões Geométricas (PG): Sequências de termos onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante.
- Potenciação: Cálculo de potências em base fracionária.
- Interpretação de Padrões Geométricos: Identificação de padrões em figuras.
Nível da Questão: Médio. A questão exige compreensão de progressões geométricas e raciocínio lógico.
Gabarito: Letra B – (1/2)99
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
O enunciado apresenta um padrão geométrico baseado no trabalho do artista Escher, onde um quadrado inicial de lado 1 é repetidamente subdividido em quadrados menores, cada um com lado correspondente a metade do lado do quadrado anterior.
Objetivo: Determinar a medida do lado do centésimo quadrado gerado nesse padrão, usando a relação que descreve a sequência.
Palavras-chave:
- Quadrado inicial com lado 1: Ponto de partida da sequência.
- Lados sucessivamente reduzidos pela metade: Indica uma progressão geométrica.
- Centésimo quadrado: Pede o lado correspondente ao termo 100 da sequência.
Passo 2: Tradução e Interpretação do Texto
- O primeiro quadrado tem lado 1.
- O segundo quadrado tem lado 1/2.
- O terceiro quadrado tem lado 1/4.
- O padrão continua, reduzindo o lado do quadrado à metade do anterior a cada passo.
- A sequência formada pelos lados dos quadrados é:
Percebemos que se trata de uma progressão geométrica (PG) de razão 12\frac{1}{2}21.
O lado do centésimo quadrado corresponde ao centésimo termo da PG.
Passo 3: Explicação de Conceitos Necessários
- Progressão Geométrica (PG):
- Em uma PG, cada termo é obtido multiplicando o anterior pela razão.
- Fórmula do termo geral de uma PG:
onde:
- a1: Primeiro termo.
- r: Razão da PG.
- n: Número do termo.
- Aplicação na Questão:
- a1 = 1: O lado do quadrado inicial.
- r= 1/2: Cada lado é metade do anterior.
- Queremos encontrar a100, o lado do centésimo quadrado.
Passo 4: Desenvolvimento do raciocínio e cálculos
- Substituímos os valores na fórmula do termo geral:
- Para o centésimo termo (n=100n = 100n=100):
- a1 = 1
- r = 1/2
- n – 1 = 99
Simplificando:
Esse é o lado do centésimo quadrado.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
a) (1/2)100
- Errada. Esse seria o lado do quadrado 101º, não o 100º.
b) (1/2)99
- Correta. Representa corretamente o lado do centésimo quadrado.
c) (1/2)97
- Errada. Esse seria o lado do quadrado 98º, não o 100º.
d) (1/2)-98
- Errada. Essa relação não corresponde à sequência de progressão geométrica apresentada.
e) (1/2)-99
- Errada. Essa relação não corresponde à sequência de progressão geométrica apresentada.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
A sequência de lados dos quadrados segue uma progressão geométrica com razão 1/2, e o lado do centésimo quadrado é:
Portanto, a resposta correta é a letra B.
