O artista gráfico holandês Maurits Cornelius Escher criou belíssimas obras nas quais as imagens se repetiam, com diferentes tamanhos, induzindo ao raciocínio de repetição infinita das imagens. Inspirado por ele, um artista fez um rascunho de uma obra na qual propunha a ideia de construção de uma sequência de infinitos quadrados, cada vez menores, uns sob os outros, conforme indicado na figura.
O quadrado PRST, com lado de medida 1, é o ponto de partida. O segundo quadrado é construído sob ele tomando-se o ponto médio da base do quadrado anterior e criando-se um novo quadrado, cujo lado corresponde à metade dessa base. Essa sequência de construção se repete recursivamente.
Qual é a medida do lado do centésimo quadrado construído de acordo com esse padrão?
a) (1/2)100
b) (1/2)99
c) (1/2)97
d) (1/2)-98
e) (1/2)-99
Resolução Em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática (Sequências Numéricas: Progressão Geométrica – PG)
- Análise de Padrões Geométricos
🎯 Tema/Objetivo Geral
Modelagem de um padrão de recursão geométrica como uma Progressão Geométrica para encontrar o valor de um termo específico (o centésimo).
📊 Nível da Questão
Fácil.
Por quê? A questão descreve um padrão de construção muito claro (“cujo lado corresponde à metade dessa base”). Isso permite identificar facilmente a sequência dos lados como uma Progressão Geométrica. A aplicação da fórmula do termo geral da PG é direta, exigindo apenas um cálculo simples com potências.
✅ Gabarito
Alternativa B.
Resumo: A sequência dos lados dos quadrados forma uma Progressão Geométrica com o primeiro termo (a₁) igual a 1 e a razão (q) igual a 1/2. Para encontrar o lado do centésimo quadrado (a₁₀₀), utiliza-se a fórmula do termo geral da PG, resultando em (1/2)⁹⁹.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Qual é a medida do lado do centésimo quadrado construído de acordo com esse padrão?”
O que está sendo pedido?
A questão nos pede para encontrar o comprimento do lado do 100º quadrado em uma sequência infinita, onde cada novo quadrado tem o lado medindo a metade do lado do quadrado anterior.
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é:
- Identificar o padrão e a sequência das medidas dos lados dos quadrados.
- Reconhecer que essa sequência é uma Progressão Geométrica (PG).
- Usar a fórmula do termo geral da PG para calcular o 100º termo.
🧠 Se o lado do primeiro quadrado é 1 e o segundo é 1/2, o terceiro é 1/4… Você percebe que o expoente da potência de 2 no denominador é sempre uma unidade a menos que a posição do quadrado? Por exemplo, o 3º quadrado tem o lado 1/2² = 1/4. Essa observação pode te levar à resposta sem nem precisar da fórmula!
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Recursividade: É o processo de definir algo em termos de si mesmo. No problema, a construção de um novo quadrado é definida com base no quadrado anterior.
- Progressão Geométrica (PG): É uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante chamada razão (q).
- Fórmula do Termo Geral da PG: Permite encontrar o valor de qualquer termo (a_n) da sequência.
a_n = a₁ ⋅ qⁿ⁻¹
Onde:- a_n = o termo que queremos encontrar (o lado do 100º quadrado).
- a₁ = o primeiro termo da sequência (o lado do 1º quadrado).
- n = a posição do termo que queremos encontrar (n=100).
- q = a razão da PG (o fator pelo qual multiplicamos para ir de um termo ao próximo).
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Temos uma “receita” para desenhar quadrados infinitos.
- Comece com um quadrado grandão, com lado de tamanho 1.
- Para fazer o próximo, pegue o tamanho do lado do anterior e divida por 2.
- Repita o passo 2 para sempre.
A gente vai ter uma sequência de lados: 1, 1/2, 1/4, 1/8, …
A pergunta é: se a gente continuar esse processo 100 vezes, qual será o tamanho do lado do 100º quadrado?
Estratégia Geral 🗺️
Nossa estratégia será modelar a sequência dos lados como uma PG, identificar seus elementos (primeiro termo e razão) e aplicar a fórmula do termo geral para encontrar o termo de posição 100.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
Etapa 1: Construir a sequência dos lados
- Lado do 1º quadrado (a₁): O enunciado diz que “O quadrado PRST, com lado de medida 1, é o ponto de partida”. Então, a₁ = 1.
- Lado do 2º quadrado (a₂): “cujo lado corresponde à metade dessa base [do quadrado anterior]”.
- a₂ = a₁ / 2 = 1 / 2.
- Lado do 3º quadrado (a₃):
- a₃ = a₂ / 2 = (1/2) / 2 = 1/4.
- Lado do 4º quadrado (a₄):
- a₄ = a₃ / 2 = (1/4) / 2 = 1/8.
- A sequência dos lados é: (1, 1/2, 1/4, 1/8, …)
Etapa 2: Identificar a Progressão Geométrica (PG)
- Essa sequência é uma PG, pois cada termo é o anterior multiplicado por uma constante.
- Primeiro termo (a₁): 1
- Razão (q): Para ir de um termo ao próximo, multiplicamos por 1/2. Portanto, q = 1/2.
Etapa 3: Aplicar a fórmula do termo geral para n = 100
- Queremos encontrar o lado do centésimo quadrado, ou seja, a₁₀₀.
- Fórmula: a_n = a₁ ⋅ qⁿ⁻¹
- Substituindo os valores:
- a₁₀₀ = 1 ⋅ (1/2)¹⁰⁰⁻¹
- a₁₀₀ = 1 ⋅ (1/2)⁹⁹
- a₁₀₀ = (1/2)⁹⁹
A Armadilha Comum 🚨
A principal armadilha é errar no expoente. O aluno pode pensar que, para o 100º termo, o expoente será 100 (levando à alternativa A). É crucial lembrar que a fórmula do termo geral da PG usa o expoente n-1, porque a razão q só começa a ser aplicada a partir do segundo termo.
Fechamento e Expectativa
O cálculo nos levou ao resultado de (1/2)⁹⁹. Agora, vamos procurar essa resposta nas alternativas.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) (1/2)¹⁰⁰
Incorreta. Este seria o 101º termo da sequência.
🟢 B) (1/2)⁹⁹
Correta. Corresponde exatamente ao 100º termo calculado pela fórmula da PG.
🔴 C) (1/2)⁹⁷
Incorreta. Este seria o 98º termo da sequência.
🔴 D) (1/2)⁻⁹⁸
Incorreta. O expoente negativo indica um valor muito grande ((1/2)⁻⁹⁸ = 2⁹⁸), o que contradiz a lógica de quadrados cada vez menores.
🔴 E) (1/2)⁻⁹⁹
Incorreta. Pela mesma razão da alternativa D.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
O problema descreve a construção de uma sequência de quadrados em que o lado de cada novo quadrado é metade do lado do quadrado anterior. Isso caracteriza a sequência das medidas dos lados como uma Progressão Geométrica (PG). O primeiro termo (lado do primeiro quadrado) é a₁ = 1, e a razão é q = 1/2. Para encontrar a medida do lado do centésimo quadrado (a₁₀₀), utiliza-se a fórmula do termo geral da PG, a_n = a₁ ⋅ qⁿ⁻¹. Substituindo n=100, a₁=1 e q=1/2, obtemos a₁₀₀ = 1 ⋅ (1/2)¹⁰⁰⁻¹ = (1/2)⁹⁹.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a B.
Resumo Final para Revisão 🔍
Quando um problema descreve um processo que se repete multiplicando (ou dividindo) por um valor constante a cada passo, desconfie de uma Progressão Geométrica. A fórmula do termo geral (a_n = a₁ ⋅ qⁿ⁻¹) é sua melhor amiga para resolver esse tipo de questão. Lembre-se sempre do n-1 no expoente
