Projetado pelo arquiteto Oscar Niemeyer, o Museu de Arte Contemporânea (MAC) tornou-se um dos cartões-postais da cidade de Niterói (Figura 1)
Considere que a forma da cúpula do MAC seja a de um tronco de cone circular reto (Figura 2), cujo diâmetro da base maior mede 50 m e 12 m é a distância entre as duas bases. A administração do museu deseja fazer uma reforma revitalizando o piso de seu pátio e, para isso, precisa estimar a sua área. (Utilize 1,7 como valor aproximado para √3 e 3 para π).
A medida da área do pátio do museu a ser revitalizada, em metro quadrado, está no intervalo
A) [100, 200]
B) [300, 400]
C) [600, 700]
D) [900, 1 000]
E) [1 000, 1 100]
Resolução em texto
📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Geometria Espacial, Trigonometria (tangente), Área do Círculo.
📔 Nível da Questão:
Médio
✅ Gabarito:
D) [900, 1000]
🎯 Tema/Objetivo Geral:
Determinar a área de um piso circular (pátio) usando interpretação geométrica, trigonometria e a fórmula da área do círculo, com aproximações numéricas indicadas.
🔷 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Comando da questão:
“A administração do museu deseja fazer uma reforma revitalizando o piso de seu pátio e, para isso, precisa estimar a sua área. (…) A medida da área do pátio do museu a ser revitalizada, em metro quadrado, está no intervalo…”
📌 Explicação Detalhada:
A questão descreve a estrutura do Museu de Arte Contemporânea (MAC) como um tronco de cone circular. A base menor corresponde ao pátio (círculo que deve ser revitalizado).
Temos o diâmetro da base maior (50 m), a altura (12 m) e o ângulo de abertura (60°).
Precisamos estimar a área do círculo da base menor (pátio).
📌 Palavras-chave:
Área do círculo, pátio, base menor, cone truncado, tangente, ângulo de 60°.
📌 Objetivo:
Encontrar o raio da base menor (usando trigonometria) e aplicar a fórmula da área do círculo:
Área = π × r²
⚠️ Dica Geral: Em figuras cônicas ou truncadas, é comum a necessidade de usar trigonometria básica (seno, cosseno ou tangente) para encontrar medidas ocultas, como raios ou alturas.
🔷 Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 1. Fórmula da área do círculo:
Área = π × r²
📌 2. Relação trigonométrica – Tangente:
No triângulo retângulo formado pela lateral do cone, temos:
tg(60°) = cateto oposto / cateto adjacente = 12 / x
📌 3. Aproximações fornecidas:
- √3 ≈ 1,7
- π ≈ 3
📌 4. Relação entre os raios:
A base maior tem raio de 25 m (pois o diâmetro é 50 m).
O pátio está entre os dois triângulos laterais (formando o tronco).
Se cada lateral tem valor x, o raio da base menor será:
r = 25 – x
🔷 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 A estrutura é de um tronco de cone circular reto
📌 O ângulo lateral é de 60°, e a altura vertical é 12 m
📌 O raio da base maior é 25 m
📌 Precisamos encontrar o raio da base menor usando tangente
📌 A área procurada é a da base menor (pátio) → círculo com raio a ser calculado
🔷 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Usando tangente:
tg(60°) = 12 / x
→ √3 = 12 / x → x = 12 / √3 ≈ 12 / 1,7 = 7,05 m
📌 Se cada lateral ocupa 7,05 m, o raio da base menor será:
r = 25 – 7,05 = 17,95 m
📌 Agora usamos a fórmula da área do círculo:
Área = π × r² = 3 × 17,95 × 17,95
🔢 Calculando:
17,95 × 17,95 ≈ 322,20
Área ≈ 3 × 322,20 = 966,6 m²
🔷 Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 A área calculada foi aproximadamente 966,6 m²
Vamos comparar com os intervalos:
- A) [100, 200] → ❌ Muito baixo
- B) [300, 400] → ❌ Muito baixo
- C) [600, 700] → ❌ Abaixo do necessário
- D) [900, 1000] → ✅ Corresponde ao resultado
- E) [1000, 1100] → ❌ Acima do resultado
✅ Alternativa correta: D
🔷 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
Com o triângulo formado na lateral do cone, aplicamos tangente para descobrir quanto o raio diminui até chegar ao pátio. A partir disso, encontramos o raio da base menor e aplicamos a fórmula da área do círculo para obter a área do piso a ser revitalizado.
📌 Reafirmação da Alternativa Correta:
✅ Alternativa D – Área entre 900 m² e 1000 m²
🔍 Resumo Final:
Questões envolvendo troncos de cone costumam pedir o uso de razões trigonométricas. Identificar corretamente qual triângulo está sendo formado e aplicar fórmulas básicas pode levar à solução com rapidez e precisão.
