Um designer de jogos planeja um jogo que faz uso de um tabuleiro de dimensão n × n, com n ≥ 2, no qual
cada jogador, na sua vez, coloca uma peça sobre uma das casas vazias do tabuleiro. Quando uma peça é
posicionada, a região formada pelas casas que estão na mesma linha ou coluna dessa peça é chamada de zona
de combate dessa peça. Na figura está ilustrada a zona de combate de uma peça colocada em uma das casas de
um tabuleiro de dimensão 8 × 8
O tabuleiro deve ser dimensionado de forma que a probabilidade de se posicionar a segunda peça
aleatoriamente, seguindo a regra do jogo, e esta ficar sobre a zona de combate da primeira, seja inferior a 1
5 .
A dimensão mínima que o designer deve adotar para esse tabuleiro é
A) 4 × 4.
B) 6 × 6.
C) 9 × 9.
D) 10 × 10.
E) 11 × 11
📚Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Probabilidade
- Análise Combinatória
- Inequações Quadráticas.
🎯 Nível da Questão: Difícil.
✅ Gabarito: Alternativa D.
📖 Resolução Passo a Passo
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
A questão define um jogo em que cada jogador coloca uma peça em um tabuleiro n × n. Ao posicionar uma peça, toda a linha e coluna dessa peça tornam-se zona de combate.
Nosso objetivo é determinar o menor valor de n para que a probabilidade de a segunda peça cair na zona de combate da primeira seja menor que 1/5.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
Probabilidade:
A fórmula geral para calcular probabilidade é: P= casos favoráveis/ casos totais
Aqui, os casos favoráveis são os que a segunda peça cai na zona de combate, e os casos totais são todas as casas disponíveis.
Cálculo das Casas:
- Total de casas: n².
- Após colocar a primeira peça, restam n²−1 casas.
- A zona de combate contém 2n−2casas.
Queremos encontrar o menor n tal que: 2n−2 / n² – 1 < 1/5
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
Transformamos o problema verbal em uma inequação matemática. Ao substituir os elementos do problema, chegamos à inequação: 2n−2 / n² – 1 < 1/5
Multiplicando cruzadamente: 10n−10<n²−1
Rearranjamos: n²−10n+9>0
Precisamos resolver essa inequação para encontrar os valores de n.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Resolvendo n²−10n+9=0 por Bhaskara:
Como n ≥ 2, descartamos n=1. Além disso, buscamos n > 9, pois a inequação exige que a probabilidade seja menor que 1/5.
O menor inteiro que satisfaz essa condição é n = 10.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
A) 4 × 4 ❌
Se n=4, a probabilidade é maior que 1/5, então não atende à condição.
B) 6 × 6 ❌
Para n=6, ainda temos uma probabilidade acima de 1/5.
C) 9 × 9 ❌
Para n=9, a probabilidade é exatamente 1/5, mas queremos um valor menor que 1/5.
D) 10 × 10 ✅
Para n=10, a probabilidade se torna menor que 1/5, sendo o menor valor possível.
E) 11 × 11 ❌
Embora satisfaça a condição, não é o menor valor.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
A questão exigia encontrar o menor valor de n para que a probabilidade da segunda peça cair na zona de combate da primeira fosse menor que 1/5.
Após modelarmos a inequação, resolvemos que n > 9, e o menor valor natural possível é n = 10.
