Um designer de jogos planeja um jogo que faz uso de um tabuleiro de dimensão n × n, com n ≥ 2, no qual
cada jogador, na sua vez, coloca uma peça sobre uma das casas vazias do tabuleiro. Quando uma peça é
posicionada, a região formada pelas casas que estão na mesma linha ou coluna dessa peça é chamada de zona
de combate dessa peça. Na figura está ilustrada a zona de combate de uma peça colocada em uma das casas de
um tabuleiro de dimensão 8 × 8
O tabuleiro deve ser dimensionado de forma que a probabilidade de se posicionar a segunda peça
aleatoriamente, seguindo a regra do jogo, e esta ficar sobre a zona de combate da primeira, seja inferior a 1
5 .
A dimensão mínima que o designer deve adotar para esse tabuleiro é
A) 4 × 4.
B) 6 × 6.
C) 9 × 9.
D) 10 × 10.
E) 11 × 11
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Probabilidade, Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem) e Inequações do 1º Grau (com simplificação algébrica).
Tema/Objetivo Geral:
Modelagem de probabilidade em um sistema de grade (matrizes) e resolução de desigualdade para encontrar um parâmetro mínimo.
Nível da Questão: Difícil.
- A dificuldade reside em dois pontos: 1) Modelar corretamente o número de casas “favoráveis” (perigosas) e “totais” sem contar duas vezes a casa ocupada; 2) Resolver a inequação resultante. Muitos alunos travam na álgebra se não perceberem a simplificação dos produtos notáveis.
Gabarito: Alternativa D.
- Para que a chance de cair na zona de combate seja menor que 20% (1/5), o tabuleiro precisa crescer. A matemática mostra que n deve ser estritamente maior que 9. O primeiro número inteiro que atende a isso é 10.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
A questão apresenta um jogo de batalha naval simplificado. O Jogador 1 coloca uma peça e “envenena” a linha e a coluna inteiras (Zona de Combate). O Jogador 2 vai jogar uma peça no que sobrou do tabuleiro.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine um atirador num campo de batalha. O Jogador 1 dispara um laser em cruz. A questão pergunta: “Qual o tamanho mínimo que esse campo de batalha precisa ter para que a chance do Jogador 2 ser atingido pelo laser aleatoriamente seja bem baixa (menor que 1 em 5)?”
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Contabilidade do Tabuleiro: Definir quantas casas existem no total (para o segundo jogador) e quantas casas são perigosas, usando uma anatomia precisa do tabuleiro.
- A Fórmula da Probabilidade: Montar a fração “Perigo / Total Disponível”.
- A Inequação: Colocar essa fração menor que 1/5 e descobrir o valor de “n”.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para não cairmos em pegadinhas, vamos criar um Dossiê Anatômico do Tabuleiro nxn. Não basta decorar fórmula, precisamos entender a estrutura física do jogo. A probabilidade é a razão entre o que eu quero (ou temo) e o que é possível.
Vamos dividir a análise em três partes essenciais:
1. O Espaço Total (O Universo do Jogo)
O tabuleiro é um quadrado de n linhas por n colunas.
- Total de casas existentes: n² (n vezes n).
2. O Espaço Amostral (Onde o Jogador 2 PODE jogar)
Probabilidade exige precisão no denominador. Onde o Jogador 2 pode colocar a peça dele? Em qualquer lugar, exceto onde o Jogador 1 já colocou a peça dele.
- Casas Ocupadas: 1.
- Casas Disponíveis (Espaço Amostral): n² – 1.
(Guarde isso: nosso denominador é uma diferença de quadrados).
3. O Evento Favorável (A Zona de Perigo)
Aqui é onde mora o erro de 90% dos alunos. O enunciado define a zona de combate como a linha e a coluna da peça.
Vamos contar quantas casas livres existem nessa cruz:
- Método da Soma Bruta (Errado): Somar n (linha) + n (coluna) = 2n.
Por que está errado? Porque você contou a casa central (o encontro da cruz) duas vezes. - Método Visual (Correto e Mais Fácil):
Olhe para a peça do Jogador 1.
Quantas casas livres restam na linha dela? n – 1.
Quantas casas livres restam na coluna dela? n – 1.
Total de casas perigosas onde o Jogador 2 pode cair: (n – 1) + (n – 1) = 2(n – 1).
Ferramenta Algébrica (Fatoração):
Para sobreviver ao Passo 3 sem cair em contas gigantes, você precisa lembrar dos Produtos Notáveis:
- Diferença de Quadrados: a² – b² = (a – b)(a + b).
- No nosso caso: n² – 1 = (n – 1)(n + 1).
Essa ferramenta será a chave para simplificar a fração.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Agora vamos montar o quebra-cabeça com calma extrema.
Fase 1: A Montagem da Inequação
A questão diz: “A probabilidade deve ser inferior a 1/5“.
Probabilidade = (Casas de Perigo) / (Casas Disponíveis).
Substituindo pelas fórmulas que deduzimos no Passo 2:
[ 2(n – 1) ] / [ n² – 1 ] < 1/5
Fase 2: O Corte Cirúrgico (Simplificação)
Se você multiplicar cruzado agora, vai cair numa equação do 2º grau chata (n² – 10n + 9 > 0). Vamos usar a inteligência algébrica.
Olhe para o denominador (n² – 1). Vamos expandi-lo usando a fatoração que preparamos:
[ 2(n – 1) ] / [ (n – 1)(n + 1) ] < 1/5
Percebeu? Temos o termo (n – 1) multiplicando em cima e em baixo.
Como n é o tamanho do tabuleiro (n ≥ 2), esse termo nunca é zero. Podemos cortá-lo!
A inequação fica incrivelmente simples:
2 / (n + 1) < 1/5
Fase 3: A Resolução Final
Agora sim, multiplicamos cruzado. Como n é positivo, não precisamos nos preocupar em inverter o sinal da desigualdade.
2 vezes 5 < 1 vezes (n + 1)
10 < n + 1
Passando o 1 para o outro lado subtraindo:
10 – 1 < n
9 < n
Fase 4: A Leitura do Resultado (O Pulo do Gato)
Chegamos em 9 < n.
Isso significa, lendo ao contrário, que n > 9.
O número “n” (tamanho do tabuleiro) tem que ser estritamente maior que 9.
Vamos testar os candidatos inteiros:
- Pode ser 9? Não, porque 9 não é maior que 9 (9 = 9). Se fosse 9, a probabilidade seria exatamente 1/5.
- Pode ser 10? Sim, 10 é maior que 9.
- Pode ser 11? Sim, 11 é maior que 9.
A questão pede a dimensão mínima.
Qual é o menor número inteiro maior que 9?
Resposta: 10.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
Cuidado redobrado com o sinal de “menor” (<) versus “menor ou igual” (≤).
O enunciado disse “inferior a 1/5”. Isso proíbe o valor exato de 1/5.
Se o enunciado dissesse “no máximo 1/5” (≤), o 9 serviria. Como disse “inferior”, o 9 está eliminado. É aqui que o aluno apressado marca a letra C e perde a questão.
Síntese do raciocínio:
Modelamos o problema, simplificamos a fração algébrica cortando o (n-1) e descobrimos que o tabuleiro precisa ser maior que 9. O primeiro inteiro disponível é o 10.
Expectativa:
Procuramos a alternativa que contém o número 10.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Alternativa A: 4 x 4.
O “Diagnóstico do Erro”: Falta de noção de grandeza.
Num tabuleiro 4×4, a chance de cair na linha/coluna é muito alta.
Matematicamente: 9 < 4 é Falso.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
Alternativa B: 6 x 6.
O “Diagnóstico do Erro”: Tentativa e Erro insuficiente.
O aluno testa números baixos.
Matematicamente: 9 < 6 é Falso.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
Alternativa C: 9 x 9.
O “Diagnóstico do Erro”: O Limite Exato.
Este é o distrator mais forte. Se você fizer a conta com igualdade (= 1/5), encontrará n = 9. O aluno esquece que o enunciado pediu “inferior a 1/5”. No tabuleiro 9×9, a chance é exatamente 20%.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
Alternativa D: 10 x 10.
Análise de Correspondência:
Nossa inequação pediu n > 9. O primeiro número inteiro que satisfaz essa condição é o 10.
Teste real: Chance = 2/(10+1) = 2/11 = 0,1818… (que é ~18%, menor que 20%).
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
Alternativa E: 11 x 11.
O “Diagnóstico do Erro”: Solução Válida, mas não Mínima.
Um tabuleiro 11×11 também tem chance menor que 1/5. Porém, a questão pediu a “dimensão mínima”. Entre 10 e 11, o 10 é menor.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta é 10 x 10. A probabilidade diminui conforme o tabuleiro aumenta. O ponto de virada (break-even point) é o 9, então precisamos do 10.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Para fugir da cruz do atirador, aumente o campo. O nove empata, o dez escapa.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Essa questão toca no conceito de Assíntota em Cálculo.
Observe a função simplificada: P(n) = 2 / (n+1).
Conforme “n” tende ao infinito (tabuleiro gigante), o denominador explode e a probabilidade tende a ZERO.
Isso explica matematicamente por que é tão difícil encontrar um amigo por acaso em São Paulo (n gigante), mas é fácil encontrar numa vila pequena (n pequeno).
