A figura mostra uma praça circular que contém um chafariz em seu centro e, em seu entorno, um
passeio. Os círculos que definem a praça e o chafariz são concêntricos.
O passeio terá seu piso revestido com ladrilhos. Sem condições de calcular os raios, pois o chafariz está cheio,
um engenheiro fez a seguinte medição: esticou uma trena tangente ao chafariz, medindo a distância entre
dois pontos A e B, conforme a figura. Com isso, obteve a medida do segmento de reta AB: 16 m
Dispondo apenas dessa medida, o engenheiro calculou corretamente a medida da área do passeio, em
metro quadrado.
A medida encontrada pelo engenheiro foi
A) 4π
B) 8π
C) 48π
D) 64π
E) 192π
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana
- Cálculo de Áreas
- Teorema de Pitágoras.
🎯 Nível da Questão: Médio.
✅ Gabarito: Alternativa D.
📖 Resolução Passo a Passo
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
A questão apresenta uma praça circular com um chafariz concêntrico e um passeio ao redor do chafariz. O engenheiro mede a distância entre dois pontos de uma reta tangente ao chafariz, obtendo 16 metros. O objetivo é determinar a área do passeio, ou seja, a área entre os círculos do chafariz e da praça.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
Área de um círculo: A=πr²
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
O engenheiro mediu 16 metros entre dois pontos tangentes do chafariz. Isso forma um triângulo retângulo, onde:
- O raio do chafariz é r.
- O raio da praça é R.
- A hipotenusa do triângulo é R (do centro da praça ao ponto de tangência).
- A metade do segmento tangente é 8 m (pois o segmento medido era 16 m no total).
Nosso objetivo é calcular a área do passeio: A=π(R²−r²)
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
- Aplicamos o Teorema de Pitágoras ao triângulo formado: R²=r²+8² -> R²= r²+ 64
- A área do passeio é dada por: A= π ( R²-r²)
- Substituímos R² da equação anterior: A=π(r²+64−r²)
- Os termos r² se cancelam, sobrando A=64
⚠️ Erros Mais Prováveis e Como Evitá-los
Erro ao interpretar a medida do segmento AB
- Muitos alunos pensam que 16 m é um diâmetro ou raio do chafariz, mas na verdade, é a distância entre dois pontos de uma reta tangente.
- Como evitar? Sempre visualize a relação entre os elementos do problema. Desenhar o triângulo retângulo auxilia na compreensão correta.
Erro ao calcular a área do passeio
- Alguns alunos calculam A=πR² corretamente, mas erram ao substituir R²−r²=64
- Como evitar? Sempre refaça os cálculos e verifique se os termos corretos foram cancelados.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
- (A) 4π ❌ Incorreto. O valor está muito abaixo do esperado. Isso aconteceria se tivéssemos calculado algo menor, como uma fração da área.
- (B) 8π ❌ Incorreto. Esse valor ainda não representa a diferença correta entre as áreas dos círculos.
- (C) 48π ❌ Incorreto. O valor 48 aparece em cálculos intermediários, mas a área correta do passeio é maior.
- (D) 64π ✅ Correto! Esse foi o resultado obtido aplicando corretamente o Teorema de Pitágoras e a fórmula da área.
- (E) 192π ❌ Incorreto. Esse valor é superestimado, provavelmente um erro ao multiplicar por um fator incorreto.
