Para criar um logotipo, um profissional da área de design gráfico deseja construí-lo utilizando o conjunto de
pontos do plano na forma de um triângulo, exatamente como mostra a imagem.
Para construir tal imagem utilizando uma ferramenta gráfica, será necessário escrever algebricamente o
conjunto que representa os pontos desse gráfico.
Esse conjunto é dado pelos pares ordenados (x ; y) ∈ N × N, tais que
A) 0 ≤ x ≤ y ≤ 10
B) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10
C) 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10
D) 0 ≤ x + y ≤ 10
E) 0 ≤ x + y ≤ 20
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Geometria Analítica (Regiões do Plano e Inequações) e Lógica Matemática.
Tema/Objetivo Geral:
Interpretação de gráficos cartesianos e tradução de uma região visual (conjunto de pontos) para uma linguagem algébrica (desigualdades).
Nível da Questão: Médio.
- O aluno precisa não apenas identificar os limites numéricos (0 a 10), mas principalmente entender a relação de dependência entre X e Y (quem é maior que quem?) para definir o corte diagonal.
Gabarito: Alternativa B.
- O conjunto de pontos mostra que para qualquer par ordenado, o valor de Y nunca ultrapassa o valor de X. Além disso, ambos estão presos entre 0 e 10. A única sentença que resume isso é a cadeia de desigualdades onde Y é menor ou igual a X.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
A questão apresenta um desenho “pixelado” de um triângulo retângulo e pede a “senha algébrica” que gera exatamente esses pontos.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que isso é uma festa exclusiva. O segurança da festa tem uma lista de regras para deixar os convidados (os pontos X, Y) entrarem.
Regra 1: Ninguém pode ser negativo (mínimo 0).
Regra 2: Ninguém pode ser maior que 10 (máximo 10).
Regra 3 (A Regra de Ouro): O convidado Y nunca pode ser “mais alto” que o convidado X.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Limites do Cercado: Identificar onde o desenho começa e termina nos eixos.
- O Corte Diagonal: Entender a reta que corta o quadrado ao meio, transformando-o em um triângulo.
- Teste do Espião: Pegar um ponto que está no gráfico e testar nas alternativas para ver qual regra funciona.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para resolver isso sem decorar fórmulas, vamos usar um Dossiê Técnico de Regiões. Vamos analisar como as inequações pintam o quadro usando texto simples.
Dossiê: Quadrado vs. Triângulo
- O Quadrado Completo:
Se tivéssemos todos os pontos preenchendo o quadrado de 0 a 10, a regra seria simples:
“X vai de 0 a 10” E “Y vai de 0 a 10”.
Matematicamente: 0 ≤ x ≤ 10 e 0 ≤ y ≤ 10. - O Triângulo Inferior (O caso da questão):
Aqui, cortamos o quadrado na diagonal. Perceba que a “altura” (Y) está sempre limitada pelo “comprimento” (X).
Exemplo visual: Na coluna x = 5, os pontinhos sobem apenas até a altura y = 5. Eles não vão até o 10.
A regra vira: y ≤ x. - A Cadeia de Desigualdades:
Podemos escrever tudo junto numa linha só.
Se 0 ≤ y e y ≤ x e x ≤ 10, juntamos tudo:
0 ≤ y ≤ x ≤ 10
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar o plano testando a realidade do gráfico.
Análise dos Extremos:
Olhe para o eixo X (horizontal). Os pontos vão do 0 até o 10.
Olhe para o eixo Y (vertical). Os pontos vão do 0 até o 10.
Mas atenção: eles não formam um quadrado cheio.
Análise da Diagonal (A Fronteira):
A linha de pontos mais alta forma uma diagonal perfeita.
Ponto (0,0)
Ponto (5,5)
Ponto (10,10)
Essa é a reta y = x.
O Teste do Espião (Decisivo):
Vamos pegar um ponto que claramente está no desenho, por exemplo, o ponto (10, 0).
Este ponto tem x = 10 e y = 0.
Vamos ver a relação entre eles:
O y (0) é menor que o x (10).
Logo: y ≤ x.
Vamos pegar um ponto que NÃO está no desenho, para garantir. O ponto (2, 8).
Aqui x = 2 e y = 8. O y é maior que x. Como ele está fora do desenho, confirmamos que nossa regra “y tem que ser menor” está certa.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
A armadilha mais sedutora aqui é confundir a ordem das letras na desigualdade. O aluno vê 0 ≤ x ≤ y ≤ 10 e acha que é a mesma coisa.
Lembre-se: A boca do sinal de “menor ou igual” (≤) aponta sempre para o menor.
Se x ≤ y, significa que o X é pequeno e o Y é grande. Isso formaria o triângulo da parte de cima. O nosso triângulo é a parte de baixo (onde o Y é pequeno).
Síntese do raciocínio:
Precisamos de uma expressão onde o Y comece no 0, mas seja barrado pelo valor de X, e o X, por sua vez, vá até 10.
Ordem de grandeza: 0 → Y → X → 10.
Expectativa:
Procuramos a alternativa que mostre 0 ≤ y ≤ x ≤ 10.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Vamos analisar cada “senha” para ver se ela libera os pontos certos.
Alternativa A: 0 ≤ x ≤ y ≤ 10
O “Diagnóstico do Erro”: Inversão de Região.
Essa sentença diz que X é menor que Y. Isso desenharia o triângulo superior (acima da diagonal). O gráfico mostra o contrário.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
Alternativa B: 0 ≤ y ≤ x ≤ 10
Análise de Correspondência:
Lendo da esquerda para a direita: Y é maior que 0. X é maior que Y (ou seja, Y está abaixo de X). X vai até 10. Isso descreve perfeitamente a região “abaixo da diagonal” dentro do quadrado 10×10.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
Alternativa C: 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10
O “Diagnóstico do Erro”: Generalização Excessiva.
Essa sentença descreve o quadrado inteiro preenchido de pontinhos. Ela não impõe a restrição diagonal. Aceitaria o ponto (2, 9), que não está no desenho.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
Alternativa D: 0 ≤ x + y ≤ 10
O “Diagnóstico do Erro”: Confusão de Reta.
A inequação x + y ≤ 10 (ou y ≤ 10 – x) descreve um triângulo cortado pela outra diagonal (a que desce do 10 no eixo Y até o 10 no eixo X).
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
Alternativa E: 0 ≤ x + y ≤ 20
O “Diagnóstico do Erro”: Redundância Inútil.
Como o máximo de X é 10 e o de Y é 10, a soma máxima já seria 20. Essa condição cobre praticamente o quadrado todo, não delimitando o triângulo específico da imagem.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta é a alternativa B. O gráfico representa a região onde a ordenada (y) é dominada pela abscissa (x).
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“No triângulo de baixo, o Y é capacho (menor que X). No triângulo de cima, o Y é a prima (maior que X).”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Esse conceito é a base da Lógica de Programação para varrer matrizes.
Se você quisesse imprimir esse triângulo em Python ou C++, usaria dois laços de repetição (loops):
Para X de 0 até 10:
Para Y de 0 até X: (Note que o Y para quando chega no valor de X atual)
Imprima Ponto
A matemática da inequação y ≤ x é exatamente o que controla o “loop interno” de um algoritmo.
