Para criar um logotipo, um profissional da área de design gráfico deseja construí-lo utilizando o conjunto de
pontos do plano na forma de um triângulo, exatamente como mostra a imagem.
Para construir tal imagem utilizando uma ferramenta gráfica, será necessário escrever algebricamente o
conjunto que representa os pontos desse gráfico.
Esse conjunto é dado pelos pares ordenados (x ; y) ∈ N × N, tais que
A) 0 ≤ x ≤ y ≤ 10
B) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10
C) 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10
D) 0 ≤ x + y ≤ 10
E) 0 ≤ x + y ≤ 20
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Analítica
- Inequações
🎯 Nível da Questão: Médio.
✅ Gabarito: Letra B.
📖 Resolução Passo a Passo
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
A questão pede a equação que define o conjunto de pontos dentro do triângulo mostrado. Os pontos pertencem ao conjunto dos números naturais N, e precisamos expressar isso por uma relação matemática.
Olhando para o triângulo no plano cartesiano, percebemos que ele é delimitado:
- Pelo eixo x (valores entre 0 e 10).
- Pelo eixo y (valores entre 0 e 10).
- Pela reta y=x, que corta o gráfico na diagonal.
Nosso objetivo é encontrar essa relação matemática corretamente.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
Equação da reta:
- A reta passa pelos pontos (0,0) e (10,10). Sua equação geral é: y=mx+b. Como o coeficiente angular m é (10−0)/(10-0)=1 a reta passa pela origem, temos b=0
Condições dos números naturais:
- x e y pertencem a N.
- Devemos garantir que y nunca ultrapasse x, já que os pontos válidos estão abaixo da reta.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
- O triângulo tem vértices em (0,0), (10,0) e (10,10).
- O conjunto pedido deve obedecer às condições:
- x varia entre 0 e 10.
- y varia entre 0 e x (ou seja, está abaixo da diagonal).
⚠️Erros Comuns
Erro: Confundir com x+y≤10.
- Isso descreveria um outro triângulo, não o correto.
- Para evitar, sempre pense na diagonal principal y=x
Erro: Considerar um quadrado ao invés do triângulo.
- Muitos alunos pegam 0≤x≤10 e 0≤y≤100, esquecendo que os pontos acima da reta não podem ser incluídos.
- Para evitar, basta verificar se a equação y≤x está presente.
Passo 4: Análise das Alternativas e Resolução
Agora, analisamos as alternativas para encontrar a correta:
- A) 0 ≤ x ≤ y ≤ 10❌
- Isso representa um quadrado e não um triângulo.
- B) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10✅
- Garante que x varia de 0 a 10 e y nunca passa de x, respeitando a reta y=x
- C) 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10❌
- Mesmo erro da alternativa A, forma um quadrado.
- D) 0 ≤ x + y ≤ 10❌
- Representa outro triângulo diferente, cortado por x+y=10x + y = 10x+y=10.
- E) 0 ≤ x + y ≤ 20❌
- Inclui pontos fora do triângulo delimitado.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
A questão envolve interpretação de gráficos e modelagem matemática. O triângulo formado no plano cartesiano respeita a equação y=x, e a alternativa correta expressa essa restrição corretamente. Assim, a resposta final é B.
