Uma empresa vende tanques de combustíveis de formato cilíndrico, em três tamanhos, com medidas indicadas nas figuras. O preço do tanque é diretamente proporcional à medida da área da superfície lateral do tanque. O dono de um posto de combustível deseja encomendar um tanque com menor custo por metro cúbico de capacidade de armazenamento.
Qual dos tanques deverá ser escolhido pelo dono do posto? (Considere π ≅ 3)
A) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de 1/3
B) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de 4/3
C) II, pela relação área/capacidade de armazenamento de 3/4
D) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de 2/3
E) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de 7/12
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial (Cálculo de Área Lateral e Volume de Cilindro)
- Razão e Proporção
Tema/Objetivo Geral:
Otimização de custo-benefício através da comparação de razões entre área e volume de diferentes cilindros.
Nível da Questão
Médio – A questão é considerada de nível médio porque não se resume a apenas calcular área e volume. Ela exige a interpretação do conceito de “custo por metro cúbico”, traduzindo-o para a razão matemática (Área Lateral / Volume) e, idealmente, a percepção de que essa razão pode ser simplificada algebricamente antes dos cálculos, o que demonstra uma compreensão mais profunda do problema.
Gabarito
D) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de 2/3 – Esta alternativa está correta pois, ao calcular a razão entre a área lateral (custo) e o volume (capacidade) para os três tanques, o tanque III apresenta o menor valor (2/3), indicando o melhor custo-benefício.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“O dono de um posto de combustível deseja encomendar um tanque com menor custo por metro cúbico de capacidade de armazenamento.”
1.2 O que está sendo pedido?
O problema nos pede para identificar qual dos três tanques cilíndricos oferece a melhor relação custo-benefício. O “custo” está ligado à área lateral e o “benefício” (capacidade) está ligado ao volume.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é calcular a razão (Área Lateral) / (Volume) para cada um dos três tanques. O tanque que apresentar o menor valor para essa razão será a escolha mais econômica.
1.4 Pergunta de Atenção
Você se lembrou que as medidas fornecidas nas imagens (4 m e 6 m) são os diâmetros e não os raios? A maioria das fórmulas de geometria usa o raio, que é metade do diâmetro! Esse é um erro muito comum.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas
Para resolver este problema, precisamos entender e aplicar os seguintes conceitos:
- Custo por Capacidade: É uma medida de eficiência. No problema, é dito que:
- O preço (custo) é proporcional à área da superfície lateral.
- A capacidade de armazenamento é o volume.
- Portanto, “menor custo por capacidade” significa encontrar o menor valor da razão: Área Lateral / Volume.
- Fórmulas do Cilindro:
- Raio (r): Metade do diâmetro. r = d / 2.
- Área da Superfície Lateral (A_lat): É a área do “rótulo” do cilindro. A fórmula é o comprimento da circunferência da base (2 * π * r) multiplicado pela altura (ou comprimento) do cilindro (h).
A_lat = 2 * π * r * h - Volume (V): É a área da base circular (π * r²) multiplicada pela altura (h).
V = π * r² * h
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Imagine que você está comprando um produto no supermercado. Um pote pequeno de 200g custa R$ 5,00. Um pote grande de 500 custa R$ 10,00. Para saber qual é mais barato, você calcula o preço por grama. É exatamente isso que o dono do posto quer fazer: encontrar o tanque com o menor “preço” (área lateral) por “litro” (volume).
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano será:
- Extrair as medidas de diâmetro e comprimento (altura) para cada um dos três tanques e calcular seus respectivos raios.
- Calcular a razão Área Lateral / Volume para cada tanque.
- Comparar os três resultados e identificar o menor, que corresponderá à escolha ideal.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos calcular a razão R = A_lat / V para cada tanque.
Existe um atalho inteligente aqui! Vamos analisar a fórmula da razão algebricamente:
R = (2 * π * r * h) / (π * r² * h)
Podemos cancelar termos iguais no numerador e no denominador:
- Cancelamos π.
- Cancelamos h.
- Cancelamos um r do numerador com um dos r do r² do denominador.
A fórmula simplificada fica:
R = 2 / r
Isso nos mostra uma coisa incrível: a melhor relação custo-benefício (menor R) depende apenas do raio do cilindro! Quanto maior o raio, menor será a razão 2/r. Agora, o problema ficou muito mais fácil!
1. Cálculo da Razão para o Tanque I:
- Diâmetro = 4 m => Raio (r) = 2 m
- Razão_I = 2 / r = 2 / 2 = 1
2. Cálculo da Razão para o Tanque II:
- Diâmetro = 4 m => Raio (r) = 2 m
- Razão_II = 2 / r = 2 / 2 = 1
3. Cálculo da Razão para o Tanque III:
- Diâmetro = 6 m => Raio (r) = 3 m
- Razão_III = 2 / r = 2 / 3
4. Comparando as razões:
- Razão I = 1
- Razão II = 1
- Razão III = 2/3 (aproximadamente 0,67)
O menor valor é 2/3, que corresponde ao Tanque III.
4.2 Verificação Intermediária
Nossos cálculos mostram que os tanques I e II têm a mesma eficiência (razão = 1), enquanto o tanque III é significativamente mais eficiente (razão = 2/3). A escolha correta é, portanto, o tanque III.
4.3 Possível armadilha
Você pode ter achado que precisaria calcular a área e o volume completos para cada tanque, usando π ≈ 3. Por exemplo, para o Tanque I: A_lat = 2 * 3 * 2 * 6 = 72 m² e V = 3 * 2² * 6 = 72 m³. A razão 72/72 = 1. Para o Tanque III: A_lat = 2 * 3 * 3 * 8 = 144 m² e V = 3 * 3² * 8 = 216 m³. A razão 144/216 = 2/3. Como pode ver, o resultado é o mesmo, mas a simplificação algébrica R = 2/r nos poupou de todos esses cálculos maiores e reduziu a chance de erro!
4.4 Fechamento e expectativa
O resultado final indica que o Tanque III é a melhor escolha, com uma relação área/capacidade de 2/3. Agora vamos procurar a alternativa que corresponda a essa conclusão.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de 1/3
B) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de 4/3
C) II, pela relação área/capacidade de armazenamento de 3/4
D) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de 2/3
E) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de 7/12
5.2 Justificativa Individual
- A) (🔴) Incorreta. O tanque escolhido está errado e a razão calculada para o Tanque I foi 1, não 1/3.
- B) (🔴) Incorreta. O tanque escolhido está errado e a razão calculada para o Tanque I foi 1, não 4/3.
- C) (🔴) Incorreta. O tanque escolhido está errado e a razão calculada para o Tanque II foi 1, não 3/4.
- D) (🟢) Correta. Aponta o Tanque III como a melhor escolha e apresenta a razão 2/3, que foi exatamente o que calculamos.
- E) (🔴) Incorreta. Embora aponte o tanque correto (III), o valor da razão está errado (7/12 em vez de 2/3).
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
O problema pedia a escolha do tanque com o menor “custo por capacidade”, que traduzimos para a razão matemática Área Lateral / Volume. Simplificando essa razão, descobrimos a relação 2/r, o que nos permitiu concluir rapidamente que o tanque de maior raio (Tanque III) seria a opção mais eficiente, com uma razão de 2/3.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a D), que identifica o Tanque III como a melhor opção com a exata relação área/capacidade de 2/3.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de comparação e otimização, sempre tente simplificar a fórmula ou a razão algebricamente antes de substituir os valores numéricos. Isso pode revelar um atalho e simplificar drasticamente os cálculos.
