Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido sua órbita, está a r quilômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por
Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S.
O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de
A) 12 765 km.
B) 12 000 km
C) 11 730 km
D) 10 965 km.
E) 5 865 km.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Funções Trigonométricas (especificamente a função Cosseno)
- Análise de Funções (determinação de valores máximos e mínimos)
Tema/Objetivo Geral:
Interpretação de uma função trigonométrica para encontrar os valores extremos (máximo e mínimo) e, em seguida, realizar uma operação de soma com eles.
Nível da Questão
Médio – A questão é de nível médio pois não se trata de uma simples substituição de valores. Exige a compreensão de que, para uma fração com numerador positivo constante, o valor máximo da função ocorre quando o denominador é mínimo, e vice-versa. Além disso, é necessário conhecer o intervalo de imagem da função cosseno.
Gabarito
B) 12 000 km – Este valor representa a soma correta das distâncias máxima (apogeu) e mínima (perigeu), que são obtidas ao se considerar os valores extremos que a função cosseno pode assumir (-1 e +1).
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“…precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S.”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para encontrarmos o valor de S, que é a soma da distância máxima do satélite (apogeu) com a sua distância mínima (perigeu).
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é usar a função r(t) fornecida para determinar o valor máximo (r_max) e o valor mínimo (r_min) que a distância r pode atingir. Depois, vamos somar esses dois valores para encontrar S.
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que a parte que varia na fórmula está no denominador da fração? Lembra como isso afeta o resultado final? Um denominador maior resulta em um valor total menor, e vice-versa!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas
- Função Cosseno (cos(x)): É uma função periódica que oscila entre um valor máximo e um mínimo. Independentemente do que está dentro dos parênteses (seja x, 0,06t ou qualquer outra expressão), o resultado da função cosseno estará sempre no intervalo de -1 a +1.
- Valor Máximo do Cosseno: cos(x) = 1
- Valor Mínimo do Cosseno: cos(x) = -1
- Apogeu e Perigeu:
- Apogeu: É o ponto na órbita de um satélite onde ele está mais distante do centro da Terra. Matematicamente, corresponde ao valor máximo da função de distância r(t).
- Perigeu: É o ponto na órbita onde o satélite está mais próximo do centro da Terra. Corresponde ao valor mínimo da função r(t).
- Relação Inversa em Frações: Para uma fração da forma k / D, onde k é um número positivo constante e D é o denominador variável:
- Para obter o maior valor possível da fração, o denominador D precisa ser o menor possível.
- Para obter o menor valor possível da fração, o denominador D precisa ser o maior possível.
(Exemplo do cotidiano: Se você divide uma pizza (k) entre poucas pessoas (D pequeno), cada um ganha um pedaço grande (resultado grande). Se divide a mesma pizza entre muitas pessoas (D grande), cada um ganha um pedaço pequeno (resultado pequeno)).
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Temos a fórmula que descreve a distância de um satélite até a Terra a cada instante. Essa distância não é constante; ela aumenta e diminui. A única coisa que faz essa distância variar na fórmula é o termo cos(0,06t). Nossa missão é usar o valor mais alto e o mais baixo que esse cosseno pode atingir para descobrir a maior e a menor distância possível do satélite. Depois, é só somar essas duas distâncias.
3.2 Estratégia Geral
- Determinar o valor de cos(0,06t) que torna o denominador da função r(t) o menor possível. Usar esse valor para calcular r_max (apogeu).
- Determinar o valor de cos(0,06t) que torna o denominador o maior possível. Usar esse valor para calcular r_min (perigeu).
- Somar r_max e r_min para encontrar o valor de S.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
A função é: r(t) = 5865 / (1 + 0,15 * cos(0,06t))
1. Cálculo da Distância Máxima (Apogeu – r_max):
Para r(t) ser máximo, o denominador (1 + 0,15 * cos(0,06t)) precisa ser mínimo.
Isso acontece quando cos(0,06t) assume seu valor mínimo, que é -1.
r_max = 5865 / (1 + 0,15 * (-1))
r_max = 5865 / (1 – 0,15)
r_max = 5865 / 0,85
r_max = 6900 km
2. Cálculo da Distância Mínima (Perigeu – r_min):
Para r(t) ser mínimo, o denominador (1 + 0,15 * cos(0,06t)) precisa ser máximo.
Isso acontece quando cos(0,06t) assume seu valor máximo, que é +1.
r_min = 5865 / (1 + 0,15 * (1))
r_min = 5865 / (1 + 0,15)
r_min = 5865 / 1,15
r_min = 5100 km
3. Cálculo da Soma S:
Agora somamos os valores de apogeu e perigeu.
S = r_max + r_min
S = 6900 + 5100
S = 12000 km
4.2 Verificação Intermediária
Encontramos que a distância do satélite varia entre um mínimo de 5100 km e um máximo de 6900 km. A soma desses dois valores resultou em 12.000 km. Os valores são coerentes e o cálculo é direto.
4.3 Possível armadilha
A armadilha mais comum aqui é a intuição errada. Você pode ter pensado: “Para r ser máximo, devo usar o cosseno máximo (+1)”. No entanto, como o cosseno está no denominador, a lógica é invertida! Usar +1 no denominador aumenta seu valor, o que na verdade diminui o resultado final da fração, levando ao r_min. Fique sempre atento à posição da variável na equação!
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo detalhado nos levou a um valor final de S = 12.000 km. Agora, vamos procurar por este resultado nas alternativas propostas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 12 765 km
B) 12 000 km
C) 11 730 km
D) 10 965 km
E) 5 865 km
5.2 Justificativa Individual
- A) 12 765 km (🔴): Incorreto. Este valor poderia surgir de um erro de cálculo, talvez somando o numerador (5865) com o apogeu (6900).
- B) 12 000 km (🟢): Correto. Este é exatamente o valor que encontramos ao somar a distância máxima (6900 km) e a mínima (5100 km).
- C) 11 730 km (🔴): Incorreto. Provavelmente resultado de um erro nas divisões ou na soma.
- D) 10 965 km (🔴): Incorreto. Este valor poderia ser a soma do perigeu (5100) com o numerador (5865), um erro conceitual.
- E) 5 865 km (🔴): Incorreto. Este é apenas o valor do numerador da função, não representa a soma pedida.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Para resolver o problema, identificamos que os valores máximo e mínimo da função de distância dependiam dos valores mínimo (-1) e máximo (+1) da função cosseno no denominador. Aplicando a lógica inversa para frações, calculamos o apogeu e o perigeu e, em seguida, somamos os dois.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a B, pois a soma da distância máxima (apogeu) e mínima (perigeu) é 12 000 km.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Lembre-se da regra da fração: para maximizar uma fração k/D, você precisa minimizar D. Para minimizar k/D, você precisa maximizar D. Essa lógica inversa é fundamental em muitos problemas de otimização.
