As frutas que antes se compravam por dúzias, hoje em dia, podem ser compradas por quilogramas, existindo também a variação dos preços de acordo com a época de produção. Considere que, independente da época ou variação de preço, certa fruta custa R$ 1,75 o quilograma.
Dos gráficos a seguir, o que representa o preço m pago em reais pela compra de n quilogramas desse produto é
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Função de 1º Grau (Função Afim)
- Interpretação de Gráficos no Plano Cartesiano
- Proporcionalidade Direta
Tema/Objetivo Geral: Traduzir uma relação de proporcionalidade direta do mundo real para sua representação gráfica correta.
Nível da Questão: Fácil.
- Justificativa: A questão é considerada fácil porque aborda um dos conceitos mais fundamentais de funções: a proporcionalidade direta. A relação entre preço e quantidade é um exemplo clássico de função linear, e a identificação do gráfico correspondente exige apenas a verificação de dois pontos básicos, sem a necessidade de cálculos complexos.
Gabarito: E)
- Este gráfico é o único que representa corretamente uma relação de proporcionalidade direta: é uma reta que parte da origem (0,0) e passa pelo ponto (1, 1.75).
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Considere que, independente da época ou variação de preço, certa fruta custa R$ 1,75 o quilograma. Dos gráficos a seguir, o que representa o preço m pago em reais pela compra de n quilogramas desse produto é”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício nos pede para identificar qual dos cinco gráficos mostra corretamente a relação entre a quantidade de fruta comprada (em kg) e o valor total a ser pago (em reais).
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é encontrar o gráfico que corresponde à função matemática que descreve o preço (m) em função do peso (n), sabendo que o preço por quilo é fixo em R$ 1,75.
1.4 Pergunta de Atenção
Você se lembrou de verificar o que acontece no ponto de partida? Ou seja, se você não comprar nenhum quilo de fruta (n=0), quanto você deveria pagar?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver essa questão, vamos precisar entender o seguinte:
- Função de 1º Grau (ou Função Afim):
- É uma função que tem a forma geral y = a*x + b. Seu gráfico é sempre uma linha reta.
- a é o coeficiente angular, que define a inclinação da reta.
- b é o coeficiente linear, que indica onde a reta corta o eixo y (o valor inicial).
- Proporcionalidade Direta:
- O que é: Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, ao multiplicar uma por um número, a outra é multiplicada pelo mesmo número. Se você dobra a quantidade de fruta, o preço dobra. Se triplica, o preço triplica.
- Fórmula: Matematicamente, isso é um caso especial da função de 1º grau onde o coeficiente linear b é zero: y = a*x. O gráfico de uma proporcionalidade direta é sempre uma reta que passa pela origem (0,0).
- Exemplo do cotidiano: O valor que você paga na bomba de combustível. O total a pagar é diretamente proporcional à quantidade de litros que você coloca. Se não colocar nenhum litro, não paga nada (passa pela origem).
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos traduzir o problema para o dia a dia: você vai à feira e uma fruta custa R$ 1,75 por quilo. A gente precisa criar uma regra (uma função) que diga quanto você paga (m) por qualquer quantidade (n) que você levar. Depois, precisamos encontrar o desenho (gráfico) que representa essa regra.
- Se levar 0 kg (n=0), você paga R$ 0,00 (m=0).
- Se levar 1 kg (n=1), você paga R$ 1,75 (m=1.75).
- Se levar 2 kg (n=2), você paga R$ 3,50 (m=3.50).
E assim por diante.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano será:
- Escrever a equação que relaciona o preço m com a quantidade n.
- Analisar o tipo de gráfico que essa equação gera.
- Verificar quais gráficos das alternativas se encaixam nesse modelo, prestando atenção em dois pontos-chave: o ponto inicial (quando n=0) e o ponto dado pelo enunciado (n=1).
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos construir a função.
- As variáveis são:
- m: o preço total pago em reais.
- n: a quantidade em quilogramas.
- O enunciado nos diz que o preço por quilograma é fixo em R$ 1,75. Isso é a nossa constante de proporcionalidade.
- Portanto, a função que relaciona m e n é:
- m = 1,75 * n
- Agora, vamos analisar as características do gráfico dessa função:
- É uma função do tipo y = ax, o que significa que seu gráfico é uma linha reta.
- Como é uma proporcionalidade direta, ela deve partir da origem (0,0). Vamos verificar: se n = 0, então m = 1,75 * 0 = 0. O ponto (0, 0) pertence ao gráfico.
- Vamos verificar o ponto específico para 1 kg: se n = 1, então m = 1,75 * 1 = 1,75. O ponto (1, 1.75) também deve pertencer ao gráfico.
4.2 Verificação Intermediária
Concluímos que o gráfico correto deve ser uma linha reta que passa por dois pontos essenciais: (0, 0) e (1, 1.75).
4.3 Possível armadilha
A principal armadilha é se focar apenas no ponto (1, 1.75) e esquecer da origem. Os gráficos B e D também parecem passar pelo ponto (1, 1.75), mas eles não representam corretamente a situação porque não partem do zero. Se você não compra nada, você não paga nada – o gráfico tem que começar no (0,0)!
4.4 Fechamento e expectativa
Agora, estamos procurando nas alternativas um gráfico que seja uma linha reta, que comece na origem e que passe pelo ponto onde 1 kg custa R$ 1,75.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) Gráfico de uma curva côncava.
B) Gráfico de uma reta que não começa na origem.
C) Gráfico de uma curva exponencial.
D) Gráfico de uma reta que começa em n=1.
E) Gráfico de uma reta que começa na origem.
5.2 Justificativa Individual
- A) 🔴 Errada. É uma curva, não uma reta. Representaria uma situação em que o preço por quilo diminui à medida que você compra mais (o aumento do preço é cada vez menor), o que contradiz o preço fixo.
- B) 🔴 Errada. É uma reta, mas não começa na origem. Isso implicaria um custo fixo (uma “taxa de serviço”) mesmo que você não comprasse nada, o que não é o caso.
- C) 🔴 Errada. É uma curva que cresce muito rápido. Representaria um preço que aumenta exponencialmente, o que não faz sentido para um preço fixo por quilo.
- D) 🔴 Errada. É uma reta, mas começa em n=1. Isso significaria que seria impossível comprar menos de 1 kg do produto, o que é falso, já que frutas são vendidas por peso.
- E) 🟢 Correta. Este gráfico atende a todos os nossos critérios: é uma linha reta, indicando um preço constante por kg. Começa na origem (0,0), mostrando que 0 kg custa R$ 0
.E passa pelo ponto (1,1,75) confirmando com 1 kg custa R$ 1,75.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A relação entre o preço total e a quantidade comprada a um valor fixo por quilo é um exemplo clássico de proporcionalidade direta. Sua representação matemática é uma função linear m = 1.75 * n, cujo gráfico é uma reta que obrigatoriamente parte da origem (0,0).
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta, que mostra uma reta partindo da origem e passando pelo ponto (1, 1.75), é a E).
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Sempre que o problema descrever uma relação de “preço por unidade” (por quilo, por litro, por hora), lembre-se: é proporcionalidade direta! O gráfico será uma reta que sai da origem.
