O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por rotações, em torno de seu centro, de
A) 45°.
B) 60°.
C) 90°.
D) 120°.
E) 180°.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana
- Simetria Rotacional
- Polígonos e Ângulos (Tesselação)
Tema/Objetivo Geral: Identificação do ângulo de simetria rotacional de um polígono a partir de uma representação visual.
Nível da Questão: Médio.
- Justificativa: A questão é considerada de nível médio pois exige uma habilidade de abstração visual para identificar a forma de um único polígono dentro de um padrão complexo (tesselação) e aplicar o conceito de simetria rotacional. Não é um cálculo direto, demandando interpretação geométrica.
Gabarito: D) 120°
- Esta alternativa está correta porque o polígono possui uma simetria de ordem 3, ou seja, ele coincide com sua posição original a cada 1/3 de uma volta completa (360° / 3 = 120°).
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por rotações, em torno de seu centro, de”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício quer saber qual é o menor ângulo que podemos girar uma única peça da calçada, em torno do seu próprio centro, para que ela pareça exatamente a mesma de antes do giro.
1.3 Objetivo Cristalino
Nossa meta é encontrar o ângulo mínimo de rotação que mantém a aparência do polígono da calçada inalterada.
1.4 Pergunta de Atenção
Você já parou para pensar que “invariante por rotação” é só um jeito mais formal de dizer “se eu girar um pouquinho, ele parece que nem saiu do lugar”? É exatamente isso que vamos procurar.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver a questão, precisamos entender alguns conceitos:
- Polígono: É uma figura geométrica plana e fechada, formada por segmentos de reta. A peça da calçada é um exemplo de polígono irregular.
- Simetria Rotacional:
- O que é: Uma figura tem simetria rotacional se ela pode ser girada em torno de um ponto central por um ângulo menor que 360° e coincidir perfeitamente com sua posição original.
- Exemplo do cotidiano: Pense em uma hélice de ventilador de 3 pás. Se você a girar até que uma pá ocupe o lugar da próxima, a hélice parecerá a mesma.
- Ângulo de Rotação: É o menor ângulo pelo qual a figura deve ser girada para que essa coincidência ocorra.
- Ordem de Rotação: É o número de vezes que a figura coincide consigo mesma durante uma volta completa de 360°.
- A fórmula que conecta esses conceitos é: Ângulo de Rotação = 360° / Ordem de Rotação.
- Tesselação (ou Pavimentação): É o preenchimento de um plano com uma ou mais formas geométricas, sem deixar espaços vazios e sem sobreposição. A imagem mostra uma tesselação com um único tipo de polígono.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos simplificar o problema: imagine que você pegou uma única peça dessa calçada na mão. O centro dela está fixo. A pergunta é: qual é o menor “giro” que você pode dar nessa peça para que ela se encaixe perfeitamente no buraco de onde saiu?
3.2 Estratégia Geral
Temos duas formas principais de resolver isso:
- Análise da Peça Única: Isolar uma única peça e observar sua forma. Contar quantas “partes” ou “braços” idênticos ela tem ao redor do centro e dividir 360° por esse número.
- Análise do Encaixe: Olhar para um ponto onde várias peças se encontram e ver como elas preenchem o espaço.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos aplicar as duas estratégias que definimos.
Método 1: Analisando a Simetria de uma Peça Isolada
- Vamos focar em apenas um dos blocos da calçada.
- Observe que ele tem um formato que se assemelha a uma figura com três “braços” ou “pás” idênticas, dispostas de forma equilibrada em torno de um ponto central.
- Para que a peça pareça a mesma, precisamos girá-la de forma que um “braço” ocupe a posição exata do próximo.
- Como são 3 “braços” idênticos para completar uma volta de 360°, a ordem de rotação da figura é 3.
- Usando a fórmula do Passo 2, calculamos o ângulo mínimo de rotação:
- Ângulo de Rotação = 360° / Ordem de Rotação
- Ângulo de Rotação = 360° / 3
- Ângulo de Rotação = 120°
Método 2: Analisando o Ponto de Encontro das Peças
- Procure na imagem um ponto onde os cantos de várias peças se encontram.
- Você verá que exatamente três peças idênticas se juntam em um único ponto, sem deixar buracos.
- A soma dos ângulos ao redor de qualquer ponto em um plano é sempre 360°.
- Como as três peças são idênticas, cada uma contribui com um ângulo igual para preencher esses 360°.
- Portanto, o ângulo de cada peça naquele ponto de encontro é:
- Ângulo no vértice = 360° / 3
- Ângulo no vértice = 120°
- Esse ângulo de 120° é uma característica intrínseca da forma do polígono e também corresponde ao seu ângulo de rotação.
4.2 Verificação Intermediária
Ambos os métodos, analisando a peça sozinha ou o encaixe delas, nos levaram ao mesmo resultado de 120°. Isso nos dá confiança na resposta.
4.3 Possível armadilha
A principal armadilha aqui é confundir a simetria rotacional da peça inteira com os outros ângulos que formam seus cantos. A peça tem vários ângulos diferentes, mas a pergunta é sobre o giro do objeto inteiro em torno de seu centro. Você poderia olhar para um dos cantos mais agudos e se confundir, mas o que importa é a simetria geral da forma. Outro erro comum é olhar para o hexágono, que tem simetria de 60°, e aplicar isso à peça, que é mais complexa.
4.4 Fechamento e expectativa
O raciocínio lógico e geométrico nos aponta de forma consistente para o valor de 120°. Agora, vamos buscar esse valor nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 45°
B) 60°
C) 90°
D) 120°
E) 180°
5.2 Justificativa Individual
- A) 45° (🔴) Errada. Um ângulo de rotação de 45° corresponde a uma simetria de ordem 8 (pois 360/45 = 8), como a de um octógono regular. A peça claramente não tem 8 lados ou “braços” idênticos.
- B) 60° (🔴) Errada. Isso implicaria uma simetria de ordem 6 (360/60 = 6), típica de um hexágono regular. Embora o padrão seja formado a partir de hexágonos, a peça individual não tem essa simetria.
- C) 90° (🔴) Errada. Um ângulo de 90° corresponde a uma simetria de ordem 4 (360/90 = 4), como a de um quadrado. A peça não se parece com um quadrado após um giro de 90°.
- D) 120° (🟢) Correta. Conforme calculamos, este ângulo corresponde a uma simetria de ordem 3 (360/120 = 3), que é exatamente o que observamos na forma do polígono com seus três “braços”.
- E) 180° (🔴) Errada. Isso implicaria uma simetria de ordem 2 (360/180 = 2). Se girarmos a peça em 180°, um “braço” apontaria para um espaço vazio, então a forma não seria invariante.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi encontrada ao identificar a simetria da peça da calçada. Observamos que a peça possui uma estrutura de três partes idênticas ao redor de um centro, o que significa que ela se repete a cada 1/3 de uma volta completa, resultando em um ângulo de rotação de 360° / 3 = 120°.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a D) 120°.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Para achar o ângulo de simetria, conte quantas vezes a figura “se encaixa” em si mesma numa volta completa (essa é a “ordem n”) e depois calcule 360° / n.
