A pressão sonora (P), medida em newton por metro quadrado (N/m²), e o nível dessa pressão sonora (n), medido em decibel (dB), se relacionam mediante a expressão
sendo P0 = 2 × 10–5 N/m² uma constante, denominada limiar de percepção do ouvido humano.
Durante uma fiscalização, foi medido, por um decibelímetro, que o ruído proveniente de um carro, com seu som automotivo ligado, atingiu um nível de pressão sonora de 80 dB.
A pressão sonora, em newton por metro quadrado, proveniente desse ruído foi igual a
A) 8 × 10−5
B) 5 × 10−2
C) 2 × 10−1
D) 1 × 103
E) 2 × 109
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Matemática (Logaritmos e Equações Exponenciais).
Tema/Objetivo Geral: Manipular uma equação logarítmica fornecida para isolar uma variável desconhecida, aplicando as propriedades fundamentais do logaritmo decimal.
Nível da Questão: Médio.
Por que Médio? Exige o conhecimento da definição de logaritmo (base 10) para converter a equação em exponencial e depois operar com potências de 10. O cálculo final envolve apenas notação científica simples.
Gabarito: C (2 . 10^-1).
A alternativa está correta pois, ao resolver a equação logarítmica, encontramos que a pressão sonora é 20.000 vezes maior que a pressão de referência, resultando em 0,2 N/m².
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A questão te dá uma fórmula pronta que relaciona “Barulho em decibéis (n)” com “Pressão do ar (P)”.
Ela te dá o valor do Barulho (80 dB) e o valor de uma constante (P0).
Ela quer que você encontre o valor de P.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine uma máquina de calcular que transforma “Pressão” em “Decibéis” usando uma regra de logaritmo.
A questão te deu o resultado final da máquina (80) e quer que você descubra qual número entrou nela (P). É um trabalho de engenharia reversa.
Plano de Ataque:
- Substituir os Valores: Colocar o 80 no lugar do “n” e o valor fixo no lugar do “P0”.
- Limpar o Terreno: Passar o 20 dividindo para isolar o logaritmo.
- Destravar o Logaritmo: Usar a regra da “bundinha” (base elevada ao resultado é igual ao logaritmando) para sumir com o “log”.
- Isolar o P: Fazer a multiplicação final.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos usar a Definição de Logaritmo.
A Regra de Ouro:
Se log(X) = Y, isso significa que 10 elevado a Y é igual a X.
(Lembre-se: quando a base não aparece escrita, ela vale 10).
- Fórmula: n = 20 . log(P / P0)
- Dados:
- n = 80
- P0 = 2 . 10^-5
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos resolver a equação passo a passo:
Etapa 1: Montar a equação
80 = 20 . log(P / P0)
Etapa 2: Isolar o Log
O 20 está multiplicando. Passa dividindo.
80 / 20 = log(P / P0)
4 = log(P / P0)
Etapa 3: Aplicar a Definição (O Pulo do Gato)
Se log(coisa) = 4, então essa “coisa” é igual a 10 elevado a 4.
P / P0 = 10^4
Etapa 4: Isolar o P
O P0 está dividindo. Passa multiplicando.
P = P0 . 10^4
Etapa 5: Substituir o valor de P0 e calcular
P = (2 . 10^-5) . 10^4
Agora, usamos a regra de potências: conserva a base (10) e soma os expoentes (-5 + 4).
-5 + 4 = -1
Resultado Final:
P = 2 . 10^-1
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
Errar a soma dos expoentes.
Muitos alunos fazem “-5 + 4” e acham 1 positivo, ou “-9”.
Lembre-se: Devo 5, pago 4 -> Continuo devendo 1 (-1).
A Bússola (Síntese):
O resultado da conta é 2 multiplicado por 10 elevado a -1.
Expectativa: Alternativa C.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) 8 . 10^-5
- Diagnóstico do Erro: O aluno pode ter tentado multiplicar o 4 (resultado da divisão inicial) pelo valor inicial 2, sem usar a potência de 10.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.
- B) 5 . 10^-2
- Diagnóstico do Erro: Erro de manipulação algébrica.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.
- C) 2 . 10^-1
- Análise: Perfeita. Corresponde ao desenvolvimento correto da equação logarítmica e da aritmética de potências de dez.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
- D) 1 . 10^3
- Diagnóstico do Erro: Talvez o aluno tenha esquecido o fator 2 do P0.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.
- E) 2 . 10^9
- Diagnóstico do Erro: Erro de sinal no expoente. O aluno pode ter somado 5 + 4 = 9, ignorando o sinal negativo do P0.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
Para reverter a escala decibel (logarítmica) para a escala linear de pressão, dividimos o valor em dB por 20 e usamos o resultado como expoente da base 10, multiplicando depois pela pressão de referência.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Tire o 20 da frente, empurre o 10 por baixo e multiplique o que sobrou.”
🧠 Para ir Além (Física Acústica):
O valor encontrado, 2 . 10^-1 N/m² (ou 0,2 Pascal), é uma pressão bem baixa se comparada à pressão atmosférica (100.000 Pascal), mas para o nosso ouvido é um som muito alto (como um liquidificador ou trânsito pesado)! Isso mostra como o ouvido é sensível e por que usamos a escala logarítmica (dB) para lidar com números que variam de 0,00002 até 200.
