Questão 151 caderno azul do ENEM 2024 PPL – Dia 2

Na construção de um avião de papel, uma criança dobrou uma folha retangular sobrepondo o lado DC ao lado AB. Assim, ela obteve dois novos retângulos, sendo um deles o retângulo DCNM, conforme a figura 1. Em seguida, ela fez uma nova dobradura, mantendo N fixo e sobrepondo o lado CN, de DCNM, a um segmento de MN. Essa sobreposição determinou um ponto P em MN e também um ponto Q em DC, conforme a figura 2.

Considerando as classificações quanto à medida dos ângulos e à medida dos lados, o triângulo NPQ é

A) acutângulo e escaleno.

B) acutângulo e isósceles não equilátero.

C) acutângulo e equilátero.

D) retângulo e escaleno.

E) retângulo e isósceles não equilátero.

✍ Resolução Em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria Plana (Dobraduras, Triângulos, Classificação de Lados e Ângulos e Teorema de Pitágoras).

Tema/Objetivo Geral: Analisar as propriedades geométricas preservadas e geradas durante o processo de dobradura de papel (isometria) para classificar um triângulo resultante.

Nível da Questão: Médio.
Por que Médio? Exige visualização espacial do processo de dobradura. O aluno precisa entender que dobrar papel preserva medidas (o pedaço que dobra é igual ao pedaço que cobre). A classificação em si é fácil, mas deduzir as medidas iguais sem números exige abstração.

Gabarito: E (retângulo e isósceles não equilátero).
A alternativa está correta pois a dobradura revela que o ângulo em P é a “cópia” do ângulo reto original do canto C, e os catetos PN e PQ são iguais por construção.

1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

Decodificação do Objetivo:
A questão quer que você dê “Nome e Sobrenome” para o triângulo NPQ.

Nome (pelos Ângulos): Ele tem ângulo de 90° (Retângulo), maior que 90° (Obtusângulo) ou todos menores (Acutângulo)?
Sobrenome (pelos Lados): Ele tem 3 lados iguais (Equilátero), 2 iguais (Isósceles) ou 0 iguais (Escaleno)?

Simplificação Radical (A Analogia Central):
Dobradura é como um carimbo ou um espelho.

O que estava no papel antes de dobrar (o “carimbo”) é impresso exatamente igual no lugar onde encosta.
Se você dobra um canto reto (90°) e ele pousa em outro lugar, esse novo lugar agora tem um ângulo de 90°.
Se você dobra um lado de tamanho X e ele pousa sobre outro, o segmento coberto também mede X.

2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Vamos usar o princípio da Congruência por Dobradura.

Regra de Ouro: Ao dobrar o papel, a figura original e a figura dobrada são congruentes (iguais).
Identificação Visual:
- O triângulo branco que foi dobrado (o “verso” do papel) é idêntico ao triângulo cinza que ficou por cima na Figura 2.
- Vamos chamar o ponto original antes de dobrar de C (canto inferior direito do retângulo DCNM).
- Ao dobrar, o ponto C viajou e pousou exatamente no ponto PP.
- O ponto N funcionou como dobradiça (ficou fixo).

3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Vamos analisar o triângulo NPQ passo a passo:

1. Análise dos Ângulos (É Retângulo?)

Olhe para a Figura 1. O quadrilátero DCNM é um retângulo. Isso significa que o ângulo no canto C é 90°.
Olhe para a Figura 2. A dobradura pegou o segmento CN e o jogou para cima do segmento MN.
O ponto C (vértice do ângulo de 90°) foi parar no ponto PP.
Portanto, o ângulo em P é uma cópia exata do ângulo em C.
Conclusão 1: O ângulo em PP mede 90°. O triângulo é Retângulo.

2. Análise dos Lados (É Isósceles?)

Esta é a parte mais sutil.
A dobra foi feita de tal forma que o lado CN sobrepôs o lado MN. Isso criou o segmento NP. Mas espere… na dobradura clássica de “fazer um quadrado” ou “avião”, dobramos a bissetriz do ângulo de 90°.
Vamos olhar para o triângulo dobrado (o triângulo cinza “fantasma” que estava em C e virou P).
- O segmento CN virou o segmento PN. (Logo, CN=PN).
- O segmento que sai de C para cima (vamos chamar de CQ′) virou o segmento PQ.

Mas observe a geometria do triângulo retângulo formado pela dobra. O vinco (linha NQ) é a bissetriz do ângulo em N (que é 90°).
- Se NQ divide o ângulo de 90° ao meio, os ângulos da base são 45°.
- Num triângulo retângulo com um ângulo de 45°, o outro também é 45°.
- Triângulo com dois ângulos iguais tem dois lados iguais.
- Conclusão Alternativa (Mais simples): A dobra descrita é a dobra padrão para criar um quadrado a partir de um canto. Ela iguala o cateto horizontal (NP) ao cateto vertical (PQ).
- Conclusão 2: O lado NP é igual ao lado PQ. O triângulo é Isósceles.

3. É Equilátero?

Num triângulo retângulo, o maior lado é a hipotenusa (NQ).
A hipotenusa é sempre maior que os catetos. (NQ>NP).
Logo, os três lados não podem ser iguais.
Conclusão 3: Não é equilátero.

Síntese do Raciocínio:
Tem ângulo de 90° (Retângulo). Tem dois catetos iguais (Isósceles). A hipotenusa é diferente (Não Equilátero).

Expectativa: Alternativa E.

4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

A) acutângulo e escaleno.
- Diagnóstico do Erro: O aluno não percebeu que a dobra conservou o ângulo reto de 90° em P. Se tem 90°, não é acutângulo.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.

B) acutângulo e isósceles não equilátero.
- Diagnóstico do Erro: Acertou a parte dos lados (isósceles), mas errou o ângulo (achou que era menor que 90°).
- Conclusão: 🔴 Incorreta.

C) acutângulo e equilátero.
- Diagnóstico do Erro: Totalmente fora. Triângulo retângulo nunca pode ser equilátero (pois equilátero tem 60°, e retângulo tem 90°).
- Conclusão: 🔴 Incorreta.

D) retângulo e escaleno.
- Diagnóstico do Erro: Acertou o ângulo, mas errou os lados. Achou que os três lados eram diferentes. Na dobradura de canto (bissetriz), os catetos gerados são sempre iguais.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.

E) retângulo e isósceles não equilátero.
- Análise: Perfeita.
  1. Retângulo: O ângulo P^ é 90° porque é a imagem do canto C do papel.
  2. Isósceles: A dobra gerada pela bissetriz do ângulo reto forma um triângulo retângulo com ângulos de 45°-45°-90°, o que implica catetos iguais (NP=PQ).
  3. Não equilátero: A hipotenusa é maior que os catetos (H=L2).
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.

5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

Frase de Fechamento:
A dobradura transfere o ângulo reto do vértice do papel para o interior da figura, caracterizando o triângulo como retângulo; a simetria da dobra (bissetriz) garante a igualdade dos catetos, tornando-o isósceles.

Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Dobrou o canto reto na diagonal? Criou um esquadro de 45 graus (Retângulo e Isósceles).”

🧠 Para ir Além (Origami e Matemática):
Essa dobradura é o Passo 1 de quase todo origami: transformar um papel retangular em um quadrado perfeito! Ao dobrar o canto até a borda oposta, você está usando a geometria para medir distâncias iguais sem usar régua. O triângulo que sobra (que cortamos fora) é exatamente o triângulo NPQ da questão.