Uma microempresa pretende fabricar pipas para vender no próximo verão. Um modelo de pipa está representado pelo quadrilátero ABCD.
Nessa representação, os segmentos AB, BC e CE medem, respectivamente, 20 cm, 34 cm e 30 cm. Além disso, E pertence ao segmento AC e é ponto médio do segmento BD.
A medida da área, em centímetro quadrado, desse modelo de pipa é
A) 58.
B) 96.
C) 108.
D) 184.
E) 672.
Resolução em texto
📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria plana (área e propriedades dos triângulos e quadriláteros), Teorema de Pitágoras.
📔 Nível da Questão: Médio
✅ Gabarito: Alternativa E
🎯 Tema/Objetivo Geral: Calcular a área de uma figura geométrica composta por triângulos retângulos, utilizando propriedades fundamentais da geometria plana.
🔷 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Comando da Questão:
“A medida da área, em centímetro quadrado, desse modelo de pipa é…”
📌 Explicação Detalhada:
Precisamos calcular a área total do quadrilátero ABCD, que representa uma pipa, utilizando as medidas fornecidas dos segmentos específicos e aplicando corretamente os conceitos de geometria plana.
📌 Palavras-chave:
✔ Quadrilátero ABCD: Figura geométrica que precisa ter sua área determinada.
✔ Segmentos: AB (20 cm), BC (34 cm), CE (30 cm).
✔ Ponto médio (E): Fundamental para estabelecer relações entre segmentos.
📌 Objetivo:
Calcular corretamente a área total da figura ABCD utilizando as medidas e relações indicadas no enunciado.
⚠️ Dica Geral: Identificar claramente quais medidas são dadas e como elas podem ajudar no cálculo da área da figura completa.
Agora que o comando foi analisado e o objetivo definido, vamos abordar os conceitos e conteúdos necessários.
🔷 Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Área de um Triângulo:
🔹 Fórmula: Área do triângulo = (base × altura) / 2
📌 Teorema de Pitágoras:
🔹 Relação fundamental válida para triângulos retângulos:
✔ hipotenusa² = cateto₁² + cateto₂²
📌 Propriedades de Ponto Médio:
🔹 O ponto médio divide um segmento em duas partes iguais, o que será crucial na questão.
Com os conceitos bem estabelecidos, vamos agora interpretar o texto da questão.
🔷 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
🔸 Subpasso 3.1 – Análise da Imagem:
📌 A figura apresentada é um quadrilátero dividido pelas diagonais AC e BD que se cruzam perpendicularmente no ponto E. A divisão forma claramente quatro triângulos menores, destacando dois triângulos maiores: ADB e BDC.
🔸 Subpasso 3.2 – Análise do Texto:
📌 Informações essenciais fornecidas:
✔ Segmentos conhecidos: AB = 20 cm, BC = 34 cm e CE = 30 cm.
✔ Ponto E: ponto médio de BD e pertencente ao segmento AC.
✔ Triângulos formados são retângulos (indicado claramente pelo ângulo de 90° entre AC e BD).
Agora que interpretamos o texto, vamos desenvolver o raciocínio e realizar os cálculos necessários.
🔷 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Passo a Passo da Resolução Completa:
🔹 Cálculo inicial da medida de BE (usando o triângulo retângulo BEC):
- Aplicando Teorema de Pitágoras no triângulo BEC, temos: BC² = CE² + BE²
34² = 30² + BE²
1156 = 900 + BE²
BE² = 1156 – 900
BE² = 256
✔ BE = 16 cm
🔹 Como E é o ponto médio de BD, sabemos que ED também vale 16 cm, fazendo o total BD medir 32 cm.
🔹 Cálculo da medida AE (usando o triângulo retângulo ABE):
- Novamente usando Pitágoras, temos o triângulo retângulo ABE, sendo AB a hipotenusa (20 cm): AB² = BE² + AE²
20² = 16² + AE²
400 = 256 + AE²
AE² = 400 – 256
AE² = 144
✔ AE = 12 cm
🔹 A diagonal AC é a soma de AE e EC:
- AC = AE + EC = 12 + 30 = 42 cm
🔹 Agora, calculamos facilmente a área total do quadrilátero ABCD (formado por duas diagonais perpendiculares AC e BD) usando a fórmula clássica: ✔ Área = (Diagonal₁ × Diagonal₂) / 2
✔ Substituindo, temos: Área = (42 × 32) / 2
✔ Área = 1344 / 2
✔ Área = 672 cm²
Com os cálculos realizados, vamos agora analisar as alternativas apresentadas.
🔷 Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 Analisando cada alternativa:
- ❌ Alternativa A: 58 cm² (Errada)
Valor extremamente pequeno, não compatível com a figura dada. - ❌ Alternativa B: 96 cm² (Errada)
Valor muito pequeno em comparação com o resultado correto. - ❌ Alternativa C: 108 cm² (Errada)
Não corresponde ao valor obtido corretamente, sendo ainda insuficiente. - ❌ Alternativa D: 184 cm² (Errada)
Apesar de maior que as anteriores, ainda muito inferior ao valor obtido corretamente. - ✅ Alternativa E: 672 cm² (Correta)
Resultado exato obtido na resolução matemática realizada com precisão.
⚠️ Dica Geral: Em questões geométricas, confira as medidas das diagonais cuidadosamente, pois erros nessas medidas levam rapidamente a valores incorretos nas áreas.
Finalmente, vamos concluir a resolução com um resumo e a justificativa final.
🔷 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
Utilizando as medidas fornecidas pelo enunciado e as propriedades geométricas (Teorema de Pitágoras e ponto médio), calculamos precisamente os valores das diagonais do quadrilátero (AC = 42 cm e BD = 32 cm). Com essas medidas, aplicamos corretamente a fórmula da área de um quadrilátero com diagonais perpendiculares, chegando ao resultado final da área total: 672 cm².
📌 Reafirmação da Alternativa Correta:
Portanto, a alternativa correta é a E – 672 cm².
🔍 Resumo Final para Revisão:
✔ Utilização correta do Teorema de Pitágoras para achar medidas desconhecidas.
✔ Reconhecimento do ponto médio, facilitando os cálculos.
✔ Aplicação direta da fórmula de área com diagonais perpendiculares.
✔ Resultado claro e preciso: Área total = 672 cm².
