Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações triângulo e estrela *, definidas sobre o conjunto dos números reais por
xΔy = x² + xy – y² e x * y = xy + x.
O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada b, que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma da duas maiores soluções da equação (aΔb)*(bΔa) = 0. Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.
Um navio deseja enviar ao outro a mensagem “ATENÇÃO!”. Para isso, deve utilizar o valor de entrada b=1.
Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será
✍ “Resolução Em Texto”
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Álgebra: Valor Numérico de Expressões, Fatoração e Equações do 2º Grau).
Tema/Objetivo Geral:
Resolver uma equação definida por operações matemáticas inventadas (operadores lógicos), encontrar suas raízes (soluções) e somar as duas maiores.
Nível da Questão
Difícil.
A questão assusta pelos símbolos estranhos (triângulo e estrela). Além disso, envolve resolver uma equação que resulta em quatro raízes possíveis. O “pulo do gato” está em fatorar a expressão para não cair em uma equação de grau 3 difícil de resolver.
Gabarito
Letra E.
A alternativa está correta pois as duas maiores soluções encontradas são 2 e (-1 + raiz de 5)/2. A soma desses dois valores resulta em (3 + raiz de 5)/2.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
Temos dois navios conversando em código.
- Entrada: b = 1.
- Regras: Duas fórmulas mágicas (Triângulo e Estrela).
- O Enigma: Resolver a equação (a triângulo b) estrela (b triângulo a) = 0.
- O Tesouro: Achar os valores de “a” (soluções), pegar os dois maiores e somá-los.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que o símbolo “triângulo” é uma máquina que mói números e o “estrela” é uma máquina que mistura.
Você vai jogar o número 1 na máquina. Ela vai cuspir uma equação.
Você tem que resolver essa equação (achar o X, que aqui chamamos de “a”).
Vão aparecer 4 resultados possíveis. Você escolhe os dois maiores e soma.
O verdadeiro desafio aqui é organizar a álgebra para não se perder na sopa de letrinhas.
Plano de Ataque:
- Substituir: Trocar b por 1 nas expressões.
- Calcular os Termos: Achar quanto vale (a triângulo 1) e (1 triângulo a).
- Montar a Equação Final: Usar a regra da Estrela.
- Resolver: Achar as raízes, selecionar as maiores e somar.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos abrir a maleta da Álgebra.
Ferramenta 1: As Regras do Jogo
- x triângulo y = x² + xy – y²
- x estrela y = xy + x
Ferramenta 2: A Fatoração Salvadora
A equação pede: X estrela Y = 0.
Pela definição: xy + x = 0.
Podemos colocar x em evidência:
x . (y + 1) = 0
Isso é crucial! Para uma multiplicação dar zero, ou o primeiro termo é zero (x = 0) ou o segundo é zero (y + 1 = 0). Isso divide nosso problema gigante em dois probleminhas fáceis.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos aos cálculos passo a passo:
Parte A: Calcular os termos com b = 1
Chamaremos o primeiro termo de Termo 1 (a triângulo 1) e o segundo de Termo 2 (1 triângulo a).
- Termo 1 (a triângulo 1):
x = a, y = 1.
Resultado = a² + a.1 – 1²
Termo 1 = a² + a – 1 - Termo 2 (1 triângulo a):
x = 1, y = a.
Resultado = 1² + 1.a – a²
Termo 2 = 1 + a – a²
Parte B: A Equação da Estrela
A equação é: (Termo 1) estrela (Termo 2) = 0.
Pela nossa fatoração (x . (y+1) = 0):
(Termo 1) . (Termo 2 + 1) = 0
Isso nos dá dois caminhos para encontrar as raízes:
Caminho 1: O Termo 1 é igual a zero.
a² + a – 1 = 0
Bhaskara neles:
Delta = 1² – 4.1.(-1) = 1 + 4 = 5.
Raízes:
a1 = (-1 + raiz(5)) / 2 (Aprox. 0,61)
a2 = (-1 – raiz(5)) / 2 (Aprox. -1,61)
Caminho 2: O (Termo 2 + 1) é igual a zero.
(1 + a – a²) + 1 = 0
-a² + a + 2 = 0 (Multiplica por -1 para facilitar)
a² – a – 2 = 0
Soma e Produto: Soma 1, Produto -2.
Raízes:
a3 = 2
a4 = -1
Parte C: O Duelo de Gigantes
Temos 4 candidatos:
- 2 (Positivo grande)
- 0,61 (a1, positivo pequeno)
- -1 (Negativo)
- -1,61 (a2, Negativo)
Quais são as duas maiores?
2 e (-1 + raiz(5))/2.
Parte D: A Soma Final
Soma = 2 + (-1 + raiz(5))/2
Tirando o MMC (que é 2):
Soma = (4 – 1 + raiz(5)) / 2
Soma = (3 + raiz(5)) / 2
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO com a expansão total!
Se você tentasse multiplicar (Termo 1) * (Termo 2) direto, cairia numa equação de grau superior, dificílimo de resolver. A sacada de detetive foi perceber que x*y = 0 permite separar a conta em dois blocos menores. Outra armadilha é errar a comparação: lembre-se que raiz de 5 é aprox. 2,23. Isso ajuda a saber quem é maior que quem.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Resolvemos duas equações de 2º grau. Pegamos a maior raiz de uma (2) e a maior da outra (0,61). Somamos as duas.
- Expectativa: (3 + raiz de 5) / 2.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) raiz de 5.
- Diagnóstico do Erro: Chute ou simplificação errada.
- Análise: O aluno pode ter somado apenas as partes com raiz, ignorando os números inteiros na fração.
B) raiz de 3.
- Diagnóstico do Erro: Erro de cálculo.
- Análise: Resultado sem conexão com a equação, que gera raiz de 5 no delta.
C) raiz de 1.
- Diagnóstico do Erro: Resultado trivial.
- Análise: Raiz de 1 é 1. Nenhuma combinação das soluções leva a esse valor.
D) (-1 + raiz de 5) / 2.
- Diagnóstico do Erro: Esqueceu de somar a outra solução.
- Análise: Essa é apenas uma das soluções (o Número de Ouro negativo). O enunciado pede a soma das duas maiores. O aluno achou uma e parou.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) (3 + raiz de 5) / 2.
- Análise de Correspondência: Perfeita.
- Análise: É o resultado exato da soma aritmética entre a raiz inteira (2) e a raiz irracional positiva ((-1+raiz(5))/2).
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
Para decifrar o código naval, desmontamos a operação “estrela” em dois fatores simples, resolvemos as equações de segundo grau resultantes e somamos as maiores raízes, chegando ao valor irracional de (3 + raiz de 5) / 2.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
Fatore antes de resolver. Escolha os maiores. Some com MMC.
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conecte isso com a Proporção Áurea.
A raiz (-1 + raiz(5))/2 que encontramos é parente próxima do Número de Ouro (Phi), que é (1 + raiz(5))/2. Essas equações quadráticas que envolvem x² – x – 1 ou x² + x – 1 sempre nos levam para a geometria sagrada da natureza e da arte. A matemática do navio estava “navegando” em águas estéticas!
