Um casal está planejando comprar um apartamento de dois quartos num bairro de uma cidade e consultou a página de uma corretora de imóveis, encontrando 105 apartamentos de dois quartos à venda no bairro desejado. Eles usaram um aplicativo da corretora para gerar a distribuição dos preços do conjunto de imóveis selecionados.
O gráfico ilustra a distribuição de frequências dos preços de venda dos apartamentos dessa lista (em mil reais), no qual as faixas de preço são dadas por ]300, 400], ]400, 5001, ]500, 600], ]00, 700], ]700, 800], ]800, 900], ]900, 1 000], ]1 000, 1 100], ]1 100, 1 200] e ]1 200, 1 300].
A mesma corretora anuncia que cerca de 50% dos apartamentos de dois quartos nesse bairro, publicados em sua página, têm preço de venda inferior a 550 mil reais.
No entanto, o casal achou que essa última informação não era compatível com o gráfico obtido.
Com base no gráfico obtido, o menor preço, p (em mil reais), para o qual pelo menos 50% dos apartamentos apresenta preço inferior a p é
A) 600.
B) 700.
C) 800.
D) 900.
E) 1000.
✍ “Resolução Em Texto”
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Estatística: Histograma, Frequência Acumulada e Mediana).
Tema/Objetivo Geral:
Interpretar um gráfico de frequências (histograma) para encontrar o valor da variável (preço) que corresponde a um determinado percentil (neste caso, a mediana ou 50% dos dados).
Nível da Questão
Médio.
Exige a leitura do gráfico para extrair os dados e o cálculo da frequência acumulada. O aluno precisa entender que “pelo menos 50%” significa encontrar a faixa onde a soma das frequências ultrapassa a metade do total.
Gabarito
Letra C.
A alternativa está correta pois a soma dos apartamentos nas faixas até 700 mil é 35. Somando a próxima faixa (20 apartamentos), chegamos a 55 apartamentos, o que ultrapassa a metade do total (52,5). Logo, o preço limite é o teto dessa faixa: 800 mil.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
O casal quer saber: Até qual preço eu preciso procurar para encontrar a metade mais barata dos apartamentos?
- Total de apartamentos: 105.
- Metade (50%): 52,5.
- Objetivo: Encontrar o 53º apartamento mais barato e ver em qual faixa de preço ele está. O “teto” dessa faixa é a resposta.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine uma fila de 105 pessoas organizadas por altura.
Você quer saber a altura da pessoa que está exatamente no meio da fila.
- Você conta: “Na fila dos baixinhos (até 1,50m) tem 5 pessoas”.
- “Na fila dos médios (até 1,60m) tem mais 10 pessoas”. Total acumulado: 15.
- Você continua somando até passar da pessoa número 53.
Quando passar, você olha para a placa daquela fila: “Altura máxima 1,80m”. Essa é a resposta.
Plano de Ataque:
- Calcular a Metade: 105 / 2 = 52,5. Precisamos superar esse número.
- Somar as Barras: Ler o gráfico da esquerda para a direita, somando a altura de cada barra.
- Parar: No momento em que a soma for maior que 52,5.
- Identificar o Preço: Olhar o valor final da faixa no eixo X.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos abrir a maleta da Estatística.
Ferramenta: Frequência Acumulada
É a soma das frequências de todas as classes anteriores até a atual.
- Classe 1: 5
- Acumulada 1: 5
- Classe 2: 10
- Acumulada 2: 5 + 10 = 15
- E assim por diante…
Onde está a Mediana?
A mediana (50%) está na classe onde a Frequência Acumulada ultrapassa a metade do total de dados.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos somar as barras do gráfico:
Total de Apartamentos = 105
Alvo (50%) = 52,5
- Faixa 300-400: 5 apartamentos.
- Acumulado: 5. (Ainda falta muito).
- Faixa 400-500: 10 apartamentos.
- Acumulado: 5 + 10 = 15. (Falta).
- Faixa 500-600: 5 apartamentos.
- Acumulado: 15 + 5 = 20. (Falta).
- Faixa 600-700: 15 apartamentos.
- Acumulado: 20 + 15 = 35. (Falta).
- Faixa 700-800: 20 apartamentos.
- Acumulado: 35 + 20 = 55.
BINGO!
Ao chegar no final da faixa de 800 mil, já contamos 55 apartamentos.
Como 55 é maior que 52,5 (metade), isso significa que o apartamento “mediano” está dentro dessa faixa.
Para garantir que pegamos 50% dos imóveis, precisamos incluir essa faixa inteira.
O limite superior dessa faixa é 800.
Logo, se filtrarmos por “preço inferior a 800”, teremos pelo menos 55 apartamentos (mais de 50%).
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO com a corretora mentirosa!
O texto diz que a corretora anunciou que 50% custavam menos de 550 mil.
Se você olhar nossa conta: até 600 mil, só tem 20 apartamentos (menos de 20%). A corretora mentiu (ou o gráfico está certo e o anúncio errado, como diz o texto). Não tente usar o número 550 na sua conta. Confie no gráfico e na sua soma acumulada.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Somando as barras, passamos da metade (52,5) na faixa que termina em 800.
- Expectativa: O valor 800.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 600.
- Diagnóstico do Erro: Parou cedo demais.
- Análise: Até 600 mil, temos apenas 20 imóveis (5+10+5). Isso é menos de 20% do total.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 700.
- Diagnóstico do Erro: Quase lá.
- Análise: Até 700 mil, temos 35 imóveis (20 anteriores + 15 dessa faixa). Isso é cerca de 33% do total. Ainda não é a metade.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 800.
- Análise de Correspondência: Perfeita.
- Análise: Até 800 mil, somamos 55 imóveis. Como o total é 105, 55 representa mais de 50% (52,3%). É o menor valor que satisfaz a condição “pelo menos 50%”.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
D) 900.
- Diagnóstico do Erro: Valor excessivo (não é o menor).
- Análise: Com 900 mil, teríamos 70 imóveis (55 + 15). Satisfaz a condição de ser “pelo menos 50%”, mas a questão pede o MENOR preço p. Como 800 já serve, 900 não é a resposta ótima.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 1 000.
- Diagnóstico do Erro: Valor excessivo.
- Análise: Mesmo caso da D. Até 1000, temos 85 imóveis. Serve, mas não é o menor limite possível.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
Para encontrar a mediana em um histograma, acumulamos as frequências das classes ordenadas; ao somar os imóveis até a faixa de 700-800 mil reais, atingimos 55 unidades, ultrapassando a metade do total (105), o que define 800 mil como o preço de corte.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
Vá enchendo o copo até transbordar a metade. Transbordou no 800.
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conecte isso com Política de Cotas ou Nota de Corte.
O que fizemos aqui é achar o “Percentil 50”. Em vestibulares, quando se diz que a nota de corte para estar entre os 10% melhores foi 800, fez-se exatamente essa conta: somou-se as notas de todos os candidatos até achar onde estavam os top 10%. A estatística define quem entra e quem sai.
