Um processo de aeração, que consiste na introdução de ar num líquido, acontece do seguinte modo: uma bomba B retira o líquido de um tanque T1 e o faz passar pelo aerador A1, que aumenta o volume do líquido em 15%, e em seguida pelo aerador A2, ganhando novo aumento de volume de 10%. Ao final, ele fica armazenado num tanque T2, de acordo com a figura.
Os tanques T1 e T2 são prismas retos de bases retangulares, sendo que a base de T1 tem comprimento c e largura L, e a base de T2 tem comprimento c/2 e largura 2L.
Para finalizar o processo de aeração sem derramamento do líquido em T2, o responsável deve saber a relação entre a altura da coluna de líquido que já saiu de T1, denotada por x, e a altura da coluna de líquido que chegou a T2, denotada por y.
Disponível em: www.dec.ufcg.edu.br. Acesso em: 21 abr. 2015.
A equação que relaciona as medidas das alturas y e x é dada por
a) y = 1,265x
b) y = 1,250x
c) y = 1,150x
d) y = 1,125x
e) y = x
Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Geometria Espacial: Cálculo de volumes de prismas.
- Porcentagem: Aplicação de aumentos consecutivos.
- Álgebra: Resolução de equações e simplificações.
Nível da Questão: Médio. Exige domínio de cálculo de volumes, porcentagens e análise algébrica.
Gabarito: Letra A – y = 1,265x
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
O problema fala de dois tanques, T1 e T2. O líquido começa no tanque T1 e passa por dois “processos de aumento” (aeradores), que aumentam o volume:
- Primeiro, o volume cresce 15%.
- Depois, o volume cresce mais 10%.
No final, o líquido vai para o tanque T2.
Objetivo: Descobrir como a altura do líquido no tanque T2 (y) está relacionada com a altura do líquido no tanque T1 (x), após esses dois aumentos.
Passo 2: Tradução e Interpretação do Texto
- Áreas das bases:
- A base de T1: A1 = c ⋅ L
- A base de T2: A2 = 2L ⋅ c/2 = c ⋅ L
- Conclusão: As áreas das bases dos dois tanques são iguais.
- Volumes:
- Volume de T1:
- Volume de T2:
- Aumentos consecutivos:
- Quando o líquido sai do T1, ele sofre dois aumentos:
- Primeiro cresce 15%: o novo volume é 1,15 vezes o volume inicial.
- Depois cresce mais 10%: o novo volume é 1,10 vezes o volume aumentado de 15%. Ou seja, 1,10 ⋅ 1,15.
- Isso dá 1,265 vezes o volume do T1.
Passo 3: Explicação de Conceitos Necessários
- O líquido começa no tanque T1 com o volume V1.
- O cálculo de V1 é dado pela fórmula:
- Como a área da base de T1 é c ⋅ L, isso significa que:
- O líquido passa por 2 aumentos consecutivos, e seu volume se torna 1,265 ⋅ V1. Vamos chamar esse novo volume de V2. Portanto:
O líquido aerado, que ocupa o volume V2, está sendo armazenado no tanque T2. Sabemos que o volume no T2 é calculado pela fórmula:
Como a área da base de T2 é c ⋅ L (igual à base de T1), o volume em T2 pode ser escrito como:
Passo 4: Desenvolvimento do raciocínio e cálculos
Agora podemos relacionar esses dois volumes, V1 e V2, por meio de uma sequência de equações:
Portanto:
Isso significa que o fator 1,265 mostra o aumento no volume após passar pelos aeradores.
Como c ⋅ L aparece nos dois lados da equação, podemos simplificar, eliminando-o:
y = 1,265x
Isso significa que a altura do líquido no tanque T2 (y) é 1,265 vezes maior que a altura do líquido no tanque T1 (x).
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
a) y= 1,265⋅x
- Correta. Representa a relação exata entre as alturas y e x, considerando os aumentos consecutivos de volume.
b) y = 1,250x
- Errada. Não considera corretamente os dois aumentos consecutivos (15% e 10%).
- Quando algo aumenta 15% e depois 10%, o segundo aumento é feito em cima do valor que já foi aumentado na primeira vez. Por isso, o aumento total não é só somar 15% + 10%.
- Primeiro, o volume fica 1,15 vezes maior (aumento de 15%). Depois, o novo valor cresce 10%, ficando 1,10 vezes maior. Isso dá: 1,15×1,10=1,265
- Então, o aumento total é 1,265 vezes, e não 1,25 vezes. Por isso, y = 1,250⋅x está errado. O correto é y = 1,265⋅x.
c) y = 1,150x
- Errada. Este valor corresponde a apenas um aumento de 15%, sem considerar o aumento adicional de 10%.
d) y = 1,125x
- Errada.
e) y = x
- Errada. Esta alternativa ignora completamente os aumentos de volume.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
O líquido aumenta em dois passos: 15% e depois 10%. Isso faz com que o volume no T2 seja 1,265 vezes o volume do T1. Como as áreas das bases são iguais, isso significa que a altura no T2 é 1,265 vezes a altura no T1.
Resposta correta: Letra A.
