Questão 151, caderno azul do ENEM 2019 – DIA 2

Três sócios resolveram fundar uma fábrica. O investimento inicial foi de R$ 1 000 000,00. E, independentemente do valor que cada um investiu nesse primeiro momento, resolveram considerar que cada um deles contribuiu com um terço do investimento inicial.

Algum tempo depois, um quarto sócio entrou para a sociedade, e os quatro, juntos, investiram mais R$ 800 000,00 na fábrica. Cada um deles contribuiu com um quarto desse valor. Quando venderam a fábrica, nenhum outro investimento havia sido feito. Os sócios decidiram então dividir o montante de R$ 1 800 000,00 obtido com a venda, de modo proporcional à quantia total investida por cada sócio.

Quais os valores mais próximos, em porcentagens, correspondentes às parcelas financeiras que cada um dos três sócios iniciais e o quarto sócio, respectivamente, receberam?

A) 29,60 e 11,11.

B) 28,70 e 13,89.

C) 25,00 e 25,00.

D) 18,52 e 11,11.

E) 12,96 e 13,89.

✍ Resolução Em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão:

• Matemática Financeira: Porcentagem e Proporção.
• Aritmética Básica: Operações com grandes números e frações.

Tema/Objetivo Geral:

• Cálculo de participação percentual em um investimento total, considerando aportes realizados em momentos diferentes e por grupos diferentes de pessoas.

Nível da Questão: Médio.

• A questão é trabalhosa porque envolve números grandes e dízimas periódicas (1/3). A complexidade não está na matemática avançada, mas na organização contábil dos aportes (quem colocou quanto e quando). Um erro comum é confundir o valor total da venda com o lucro, ou esquecer de somar os dois aportes para os sócios antigos.

Gabarito: A.

• Investimento Total: R$ 1.800.000,00.
• Sócio Antigo: Investiu ≈R$333.333+R$200.000=R$533.333. (≈29,6%).
• Sócio Novo: Investiu apenas R$200.000. (≈11,1%).

1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

Decodificação do Objetivo:
A questão quer que calculemos a fatia do bolo (porcentagem) que cada sócio merece receber da venda da fábrica. Essa fatia é proporcional ao quanto cada um investiu no total. Temos dois tipos de sócios: os “Fundadores” (que investiram duas vezes) e o “Novato” (que investiu só uma vez).

Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine uma vaquinha para um churrasco.

Fase 1: Três amigos dão R$ 100 cada para comprar a carne.

Fase 2: Chega um quarto amigo. Agora os quatro dão mais R$ 50 cada para a bebida.

Total investido por um Fundador: 100+50=150.

Total investido pelo Novato: 50.

A pergunta é: Quantos por cento do total arrecadado cada um deu?

Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):

• Calcular o valor investido individualmente pelos 3 sócios fundadores (Aporte 1 + Aporte 2).
• Calcular o valor investido pelo sócio novato (Apenas Aporte 2).
• Calcular o Investimento Total acumulado.
• Descobrir a porcentagem de cada grupo em relação ao total.

2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Tabela de Investimentos:

Fórmula da Porcentagem:

%Participac​ão​=​InvestimentoIndividual​​/InvestimentoTotal×100

3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Vamos calcular o “quanto cada um tirou do bolso”:

1. O Sócio Fundador (Antigo):

• No Aporte 1: Ele pagou 1/3​ de 1 milhão.
  I1​=31.000.000​≈R$333.333,33
• No Aporte 2: Ele pagou 1/4 de 800 mil.
  I2​=4800.000​=R$200.000,00
• Total do Fundador:
  TotalAntigo​=333.333,33+200.000,00=R$533.333,33

2. O Sócio Novo:

• No Aporte 1: Não participou (R$ 0,00).
• No Aporte 2: Ele pagou 1/4 de 800 mil.
  TotalNovo​=R$200.000,00

3. O Investimento Total (O Bolo Inteiro):

• Total = Aporte 1 + Aporte 2
• Total = 1.000.000+800.000=R$1.800.000,00

4. Calculando as Porcentagens:

• Para o Sócio Novo (Mais fácil de calcular):
  %Novo​=200.000​/1.800.000
  Cortando os zeros:
  %Novo​=2/18=1​/9
  Dividindo 1 por 9:
  1÷9=0,1111...→11,11%
• Para o Sócio Antigo:
  %Antigo​=533.333,33​/1.800.000
  Dica de prova: Não precisa fazer essa conta chata! Sabemos que a soma de todas as porcentagens tem que dar 100%.
  3×(%Antigo​)+1×(%Novo​)=100%
3×(%Antigo​)+11,11%≈100%
3×(%Antigo​)≈88,89%
%Antigo​≈29,63%

A Bússola (O Perfil do Culpado):

• Síntese do raciocínio: O sócio novo tem cerca de 11% e o antigo cerca de 29,6%.
• Expectativa: Procurar a alternativa com o par (29,60 e 11,11).

4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

• A) 29,60 e 11,11.
  • Análise de Correspondência: Perfeito. Os valores batem com nossos cálculos (1/9 para o novato e o restante dividido por 3 para os antigos).
  • Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
• B) 28,70 e 13,89.
  • O Diagnóstico do Erro: Cálculo Aleatório.
  • Por que está incorreta: Não corresponde à proporção matemática dos investimentos (200k vs 1800k).
  • Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
• C) 25,00 e 25,00.
  • O Diagnóstico do Erro: Divisão Igualitária (Socialismo ingênuo).
  • Por que está incorreta: Isso aconteceria se todos tivessem investido o mesmo valor total. Como os antigos investiram no início e o novo não, eles têm direito a mais.
  • Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
• D) 18,52 e 11,11.
  • O Diagnóstico do Erro: Erro na Soma Total.
  • Por que está incorreta: O valor 11,11% está certo para o novato, mas 18,52% para os antigos somaria apenas 3×18+11≈66%. Faltaria dinheiro.
  • Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
• E) 12,96 e 13,89.
  • O Diagnóstico do Erro: Valores sem nexo.
  • Por que está incorreta: Valores muito baixos, a soma não fecha 100%.
  • Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

Frase de Fechamento:
A matemática financeira é justa: o lucro recebido é um espelho fiel do dinheiro investido. Como os três sócios fundadores colocaram dinheiro duas vezes (no início e no meio), acumulando muito mais capital na empresa, é lógico que eles recebam uma fatia do prêmio (29,6%) quase três vezes maior que a do sócio novato (11,11%), que contribuiu apenas uma vez.

Resumo-flash (A Imagem Mental):
Imagine uma balança de pratos:
⚖️ Prato do Novato: Colocou 1 saco de dinheiro (R$ 200 mil).

⚖ Prato do Fundador: Colocou 2,5 sacos de dinheiro (R$ 533 mil).
Resultado: Quem põe mais peso na balança, leva mais ouro para casa.

🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conexão com o Mercado de Ações (Dividendos):
Este problema ilustra exatamente como funciona a distribuição de lucros na Bolsa de Valores.
Imagine que a fábrica é uma empresa dividida em ações.

O sócio novo comprou ações apenas uma vez (tem poucas).
Quando a empresa paga Dividendos (parte do lucro), ela não paga “por pessoa”, ela paga “por ação”. Quem tem mais pedacinhos da empresa no bolso recebe o cheque maior. É o princípio da Equidade: a participação nos lucros é proporcional à participação no risco (investimento).

Os sócios antigos foram comprando ações ao longo do tempo (acumularam muitas).