Um novo produto, denominado bolo de caneca no micro-ondas, foi lançado no mercado com o objetivo de atingir ao público que não tem muito tempo para cozinhar. Para prepará-lo, uma pessoa tem à sua disposição duas opções de canecas, apresentadas na figura.
A caneca A tem formato de um prisma reto regular hexagonal de lado L = 4 cm, e a caneca B tem formato de um cilindro circular reto de diâmetro d = 6 cm. Sabe-se que ambas têm a mesma altura h = 10 cm, e que essa pessoa escolherá a caneca com maior capacidade.
Considere π = 3,1 e √3 = 1,7.
A medida da capacidade, em centímetro cúbico, da caneca escolhida é
A) 186.
B) 279.
C) 408.
D) 816.
E) 1 116.
✍ “Resolução Em Texto”
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Geometria Espacial (Prismas e Cilindros).
Geometria Plana (Área de Polígonos Regulares e Círculos).
Tema/Objetivo Geral:
Comparar a capacidade volumétrica de dois sólidos geométricos distintos (um prisma hexagonal e um cilindro) dados seus parâmetros lineares, para identificar qual comporta mais líquido.
Nível da Questão
Médio.
Exige a memorização (ou dedução) da fórmula da área do hexágono regular, que é menos comum que a do quadrado ou retângulo, além de precisão aritmética com números decimais.
Gabarito
Letra C.
O volume da Caneca A é 408 cm³, enquanto o da Caneca B é 279 cm³. A maior capacidade é a da A.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
Temos um duelo de titãs geométricos: uma caneca sextavada (prisma hexagonal) contra uma caneca redonda (cilindro). Ambas têm a mesma altura. A missão é calcular o volume das duas e ver qual número é maior.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que são duas caixas d’água.
- Caixa A: O chão tem formato de colmeia (hexágono).
- Caixa B: O chão é redondo (círculo).
Como a altura é igual, quem tiver o “chão” (base) maior, ganha. Mas a questão pede o valor exato do volume vencedor.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Calcular o Volume A: Descobrir a área do hexágono e multiplicar pela altura.
- Calcular o Volume B: Descobrir a área do círculo e multiplicar pela altura.
- O Duelo: Comparar os valores e marcar o maior.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos abrir nossa caixa de fórmulas espaciais.
O Princípio Universal do Volume:
Para prismas e cilindros retos, a regra é simples:
Volume = Área da Base × Altura
Ferramenta 1: A Base da Caneca A (Hexágono Regular)
O hexágono regular é, na verdade, um quebra-cabeça feito de 6 triângulos equiláteros.
Área Hexágono = 6 × (L²√3 / 4)
Simplificando:
A_hex = (3 × L² × √3) / 2
Ferramenta 2: A Base da Caneca B (Círculo)
A_circ = π × r²
Atenção: O problema deu o Diâmetro. O Raio é a metade!
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos aos cálculos.
ROUND 1: Caneca A (O Prisma Hexagonal)
- Dados: Lado (L) = 4 cm; Altura (h) = 10 cm.
- Cálculo da Base:
A_base = (3 × 4² × 1,7) / 2
A_base = (3 × 16 × 1,7) / 2
(Dica: Simplifique o 16 com o 2 antes de multiplicar)
A_base = 3 × 8 × 1,7
A_base = 24 × 1,7
A_base = 40,8 cm² - Cálculo do Volume:
V_A = 40,8 × 10 = 408 cm³.
ROUND 2: Caneca B (O Cilindro)
- Dados: Diâmetro = 6 cm (Logo, Raio = 3 cm); Altura (h) = 10 cm.
- Cálculo da Base:
A_base = π × r²
A_base = 3,1 × 3²
A_base = 3,1 × 9
A_base = 27,9 cm² - Cálculo do Volume:
V_B = 27,9 × 10 = 279 cm³.
O VEREDITO
A Caneca A suporta 408 cm³.
A Caneca B suporta 279 cm³.
A questão pede a maior capacidade.
Vencedor: 408.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! Na Caneca B, o enunciado deu o diâmetro (6), mas a fórmula exige o raio (3). Se você usar o 6 na fórmula (π.d²), vai encontrar um valor gigantesco e errar a questão (veja a alternativa E). Sempre desenhe o círculo e marque o raio para não cair nessa.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: O volume do prisma (408) superou o do cilindro (279).
- Expectativa: Buscar o número 408 nas alternativas.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 186.
Diagnóstico do Erro: Cálculo de Área Incompleto.
Provavelmente o aluno calculou a área de apenas 3 triângulos em vez de 6 para o hexágono, ou cometeu um erro grave na divisão.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 279.
Diagnóstico do Erro: Escolha do Perdedor.
Este é o volume correto da Caneca B (Cilindro). O aluno fez os cálculos certos, mas esqueceu que o enunciado pedia a caneca com a maior capacidade.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 408.
Análise de Correspondência:
Cálculo correto do volume do prisma hexagonal, que se provou ser o maior volume entre as duas opções.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
D) 816.
Diagnóstico do Erro: O Esquecido da Divisão.
Na fórmula da área do hexágono, temos uma divisão por 2 (ou por 4 na fórmula do triângulo). Se o aluno esquecer de dividir, o resultado dobra: 408 × 2 = 816.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 1 116.
Diagnóstico do Erro: Confusão Raio vs. Diâmetro.
O aluno usou o diâmetro (6) no lugar do raio (3) na fórmula do cilindro.
Conta errada: V = 3,1 × 6² × 10 = 3,1 × 36 × 10 = 1.116.
Como esse valor é enorme, o aluno acharia que a Caneca B era a maior e marcaria essa opção.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
A resposta correta é a Alternativa C, pois a geometria hexagonal da Caneca A proporciona uma área de base superior (40,8 cm²) à geometria circular da Caneca B (27,9 cm²), resultando em um volume total de 408 cm³.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“O Hexágono é feito de 6 triângulos; não esqueça de somar todos eles. E no cilindro: Raio é Rei, Diâmetro é Distração.”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Por que as abelhas fazem favos hexagonais e não circulares?
Neste exercício, vimos que o hexágono tem muito volume. Na natureza, o hexágono é a forma mais eficiente de preencher espaço (sem deixar buracos entre as células, como aconteceria com círculos) usando a menor quantidade de cera possível para guardar a maior quantidade de mel. É a otimização de volume máxima da engenharia natural!
